Definicje funkcji trygonometrycznych:
- Sinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.
- Cosinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej.
- Tangensem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta α do długości drugiej przyprostokątnej.
Zatem w poprawnym zapisaniu funkcji trygonometrycznej najważniejsze jest, jak dany bok trójkąta położony jest względem kąta, z którego liczymy funkcję. (Litera jaką ten bok został oznaczony pełni wyłącznie funkcję informacyjną)
Zad. 7.
a)
Najpierw orientujemy boki względem kąta. Tutaj mamy:
y - przyprostokątna leżąca na przeciw kąta α
c - przyprostokątna przyległa do kąta α
x - przeciwprostokątna
Zatem zgodnie z definicją:
[tex]\bold{sin\,\alpha=\dfrac yx\ ,\qquad cos\,\alpha=\dfrac cx\ ,\qquad tg\,\alpha=\dfrac yc}[/tex]
b)
Mamy dane c = 12 i tgα = 0,25
Wiemy, że w tym trójkącie: [tex]\bold{tg\,\alpha=\dfrac yc}[/tex]
Czyli:
[tex]\bold{0,25 = \dfrac y{12}\qquad/\cdot12}\\\\\underline{\,\bold{y=3}\,}[/tex]
Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, trzeci możemy wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa (w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej):
[tex]c^2+y^2=x^2\\\\12^2+3^2=x^2\\\\x^2=144+9\\\\x^2=153\\\\x=\sqrt{153}\\\\\underline{\,\bold{x=3\sqrt{17}}\, }[/tex]
Zad. 8.
a)
Orientujemy boki względem kąta:
c - przyprostokątna leżąca na przeciw kąta α
a - przyprostokątna przyległa do kąta α
b - przeciwprostokątna
Zatem zgodnie z definicją:
[tex]\bold{sin\,\alpha=\dfrac cb\ ,\qquad cos\,\alpha=\dfrac ab\ ,\qquad tg\,\alpha=\dfrac ca}[/tex]
b)
Mamy dane: b = 14 i [tex]\sin\alpha =\dfrac{2\sqrt6}7[/tex]
Wiemy, że w tym trójkącie: [tex]\bold{tg\,\alpha=\dfrac cb}[/tex]
Czyli:
[tex]\bold{\dfrac{2\sqrt6}7= \dfrac c{14}\qquad/\cdot14}\\\\\underline{\,\bold{c=4\sqrt6}\,}[/tex]
I z tw. Pitagorasa:
[tex]a^2+c^2=b^2\\\\a^2+\big(4\sqrt6\big)^2=1\bib4^2\\\\a^2+16\cdot6=196\\\\a^2+96=196\\\\a^2=100\\\\\underline{\,\bold{a=10}\,}[/tex]
