Ogólny wzór na położenie ciała w funkcji czasu w prostym ruchu harmonicznym wyraża się jako:
[tex]x(t) = Asin(\omega t + \phi)[/tex]
gdzie A to amplituda, [tex]\omega[/tex] to prędkośc kątowa, t czas, a [tex]\phi[/tex] to kąt fazowy. Porównując ten wzór ze wzorem danym w zadaniu, widzimy, że:
[tex]A = 0,8 (m?)\\\omega = 4\pi\\\phi = 0[/tex]
Zatem:
(a) amplituda wynosi 0,8 (zakładam, że jednostka to metry)
(b) częstość drgań to po prostu prędkość kątowa, czyli [tex]4\pi[/tex]. Chyba że użyto tutaj synonimu częstotliwości, wówczas możemy obliczyć ją bezpośrednio z prędkości kątowej, jako że [tex]\omega = 2\pi f\rightarrow f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi} = 2 Hz[/tex]
(c) okres drgań to po prostu odwrotność częstotliwości [tex]T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2} s[/tex]
(d) największa wartość przyśpieszenia ciała jest dla tych chwil, gdy prędkość wynosi zero, a jest ona równa zero przy maksymalnym wychyleniu (równym amplitudzie). Interesują nas zatem takie wartości t, gdy [tex]sin(4\pi t) =1[/tex]. A wiemy, że sinus jest równy 1 dla [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], [tex]\frac{5\pi}{2}[/tex]..., stąd [tex]t=\frac{1}{8}(4n+1), n \in \mathbb{Z}[/tex], czyli dla n=0 mamy [tex]t=\frac{1}{8}s[/tex]. Stąd możemy podstawić to do wyrażenia na wartość przyśpieszenia:
[tex]a(t)=-16\pi^2\cdot0,8\sin(4\pi t)[/tex]
[tex]a(\frac{1}{8})=-12,8\pi^2=-126,3 \frac{m}{s^2}[/tex]
(e) największa siła działa wtedy, gdy mamy największe przyśpieszenie. Z drugiej zasady dynamiki:
[tex]F(t)=a(t)m=-A\omega^2sin(\omega t)m=-126,3 \frac{m}{s^2}\cdot 0,015 kg =1,9N[/tex]
Minusy oczywiście oznaczają wektory o zwrotach przeciwnych niż wektor prędkości.
(f) energia kinetyczna przybiera największą wartość wtedy, gdy prędkość jest maksymalna. Dzieje się to w momencie przechodzenia przez punkt równowagowy, czyli gdy x = 0. Musimy zatem ustalić, dla jakich wartości t [tex]sin(4\pi t)=0[/tex]. Stosują rozumowanie podobne do rozumowania z punktu (d), dochodzimy do wniosku, że [tex]t=\frac{n}{4}, n \in \mathbb{Z}[/tex]. Stąd dla n = 0 mamy:
[tex]x(0)=0\\v(t)=4\pi \cdot 0,8cos(4\pi t)\\E_k(t)= \frac{mv(t)}{2}=\frac{16\pi^2 \cdot 0,8^2cos(4\pi t)m}{2}\\E_k(0) = 8\pi^2\cdot0,8^2\cdot0,015 kg} = 0,75 J[/tex]
(g) energia potencjalna przybiera największą wartość w punktach maksymalnego wychylenia. Wartości t dla nich liczyliśmy już w (d). Stąd:
[tex]E_p(t)=\frac{kx^2}{2}=\frac{1}{2}\omega^2mA^2sin^2(\omega t)\\E_p(\frac{1}{8})=\frac{1}{2}\cdot16\pi^2\cdot0,015\cdot0,8^2=0,75J[/tex]
(h) całkowita energia układu, z zasady zachowania energii, to maksymalna wartość albo energii potencjalnej, albo kinetycznej:
[tex]E_{tot}=max(E_k)=max(E_p)=0,75 J[/tex]
