Zadanie dotyczy wykazania poniższej nierówności.
[tex]\cfrac{a^2 + b^2}{2} > (\cfrac{a+b}{2})^2 \ \ \ \ \ b\neq a[/tex]
Obliczenia i przekształcenia wykonane poniżej udowadniają powyższą nierówność.
Wykonujemy najpierw potęgowanie po prawej stronie nierówności:
[tex]\cfrac{a^2 + b^2}{2} > (\cfrac{a+b}{2}) \cdot (\cfrac{a+b}{2})[/tex]
Skorzystamy w liczniku z wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\\\[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]\cfrac{a^2 + b^2}{2} > \cfrac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \ | \cdot 4[/tex]
Pozbywamy się ułamków (mnożymy przez 4)
[tex]2(a^2 + b^2) > a^2 + 2ab + b^2 \\\\2a^2 + 2b^2 > a^2 +2ab + b^2 \\\\[/tex]
Przenosimy wszystkie niewiadome na lewo i otrzymujemy:
[tex]2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) > 0 \\\\[/tex]
Jeśli przed nawiasem jest minus, opuszczamy nawias - zmieniając znak przed każdym czynnikiem który znajduję się wewnątrz nawiasu.
[tex]\underline{2a^2} + \underline{\underline{2b^2}} - \underline{a^2} -2ab -\underline{\underline{ b^2}} > 0\\\\a^2 - 2ab + b^2 > 0[/tex]
Ponownie korzystamy z wzoru skróconego mnożenia i w rezultacie otrzymujemy:
[tex](a - b)^2 > 0[/tex]
To wyrażenie na pewno jest większe od zera, ponieważ [tex]a\neq b[/tex].
Liczba podniesiona do potęgi drugiej (różna od 0) da w konsekwencji na pewno liczbę większą od zera.
c.n.u.
