Odpowiedź:
[tex]\frac{x^{5}+8 }{x+1} =5[/tex]
___________
Szczegółowe wyjaśnienie:
Obliczamy miejsca zerowe równania początkowego (potrzebne tylko do SPOSOBU 1. i SPOSOBU 2.)
[tex]x^{2} +x-1=0[/tex]
Δ = 1² - 4 · 1 · (-1)
Δ = 5
√Δ = √5
[tex]x_{1}= \frac{-1 -\sqrt{5} }{2}[/tex] lub [tex]x_{2}= \frac{-1 +\sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex]x_{1}[/tex] ∈ R [tex]x_{2}[/tex] ∈ R
SPOSÓB 1.
[tex]\frac{x^{5}+8 }{x+1} =\frac{x^{5}+1+7 }{x+1} = \frac{x^{5}+1 }{x+1} +\frac{7 }{x+1} =\frac{(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1) }{x+1} +\frac{7 }{x+1} =x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1+\frac{7 }{x+1} =(x^{2}-x)(x^{2}+1)+1+\frac{7 }{x+1}[/tex]
dla [tex]x_{1}[/tex]
[tex]\frac{x_{1} ^{5}+8 }{x_{1} +1} =(x_{1} ^{2}-x)(x_{1} ^{2}+1)+1+\frac{7 }{x_{1} +1}= \\ \\=([\frac{-1 -\sqrt{5} }{2}] ^{2}-\frac{-1 -\sqrt{5} }{2} )([\frac{-1 -\sqrt{5} }{2} ]^{2}+1)+1+\frac{7 }{\frac{-1 -\sqrt{5} }{2} +1}=\\\\=(\frac{1 +2\sqrt{5}+5 }{4}+\frac{1 +\sqrt{5} }{2} )(\frac{1 +2\sqrt{5}+5 }{4}+1)+1+\frac{7 }{\frac{1 -\sqrt{5} }{2} }=\\\\=(\frac{6+2\sqrt{5} }{4}+\frac{2+2\sqrt{5} }{4} )(\frac{6+2\sqrt{5} }{4}+\frac{4 }{4})+1+\frac{14 }{1 -\sqrt{5} }=[/tex]
[tex]=(\frac{8+4\sqrt{5} }{4})(\frac{10+2\sqrt{5} }{4})+1+\frac{14(1+\sqrt{5}) }{1 -5 }=\\\\=\frac{80+16\sqrt{5}+40\sqrt{5}+8*5 }{16}+1-\frac{14+14\sqrt{5} }{4 }=\\\\=\frac{120+56\sqrt{5}}{16}+1-\frac{14+14\sqrt{5} }{4 }=\\\\=\frac{30+14\sqrt{5}-14-14\sqrt{5} }{4}+1=[/tex]
[tex]=\frac{16 }{4}+1=\\\\= 5[/tex]
___
dla [tex]x_{2}[/tex]
[tex]\frac{x_{2} ^{5}+8 }{x_{2} +1} =(x_{2} ^{2}-x)(x_{2} ^{2}+1)+1+\frac{7 }{x_{2} +1}= \\ \\=([\frac{-1+\sqrt{5} }{2}] ^{2}-\frac{-1+\sqrt{5} }{2} )([\frac{-1 +\sqrt{5} }{2} ]^{2}+1)+1+\frac{7 }{\frac{-1 +\sqrt{5} }{2} +1}=[/tex]
[tex]=(\frac{8-4\sqrt{5} }{4})(\frac{10-2\sqrt{5} }{4})+1+\frac{14(\sqrt{5}-1) }{4 }=\\\\=\frac{30-14\sqrt{5}}{4}+1+\frac{14\sqrt{5}-14 }{4 }=\\\\=\frac{30-14\sqrt{5}+14\sqrt{5}-14 }{4}+1=[/tex]
[tex]=\frac{16 }{4}+1=\\\\= 5[/tex]
___
CZYLI dla obu "x" rozwiązaniem jest 5 i jest ona ostatecznym wynikiem.
SPOSÓB 2.
Można skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona (na obliczenie sumy lub różnicy z [tex]x^{5}[/tex] ). Myślę, że powyższy sposób wystarczarczy jako rozwiązanie, natomiast ten sposób 2. bo on chyba dłuższy będzie lub można więcej błędów popełnić.
SPOSÓB 3. (Mega SPRYTNY SPOSÓB - dla tego przykładu akurat się udało w ten sposob rozłożyć)
[tex]x^{2} +x-1=0[/tex]
[tex]\frac{x^{5}+8 }{x+1} =\frac{x^{5}-5x+3+5x+5 }{x+1} =\\\\\=\frac{x^{5}-5x+3 }{x+1} +\frac{5x+5 }{x+1}= \\ \\=\frac{(x^{2}+x-1)(x^{3}-x^{2}+2x-3) }{x+1} +\frac{5(x+1)}{x+1}=[/tex]
[tex]=\frac{(x^{2}+x-1)*(x^{3}-x^{2}+2x-3) }{x+1} +\frac{5(x+1)}{x+1}=[/tex]
[tex]\\ \\=\frac{0*(x^{3}-x^{2}+2x-3) }{x+1} +\frac{5(x+1)}{x+1}= \\\\\\= \frac{0 }{x+1} + 5=\\ = 0+5= \\\\=5[/tex]
_____
znak * oznacza mnożenie
