Odpowiedź:
y(min) = -9/8 dla x = -5/4
y(max) = 20 dla x= 2
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zaczynamy od sprawdzenia, czy odcięta (x) wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji kwadratowej, znajduje się w zadanym przedziale.
Dla funkji f(x) = ax² + bx + c, współrzędne wierzchołka W(p, q) paraboli, która jest wykresem tej funkcji, wyrażają się wzorami:
p = -b/2a, q = f(p) = -Δ/4a
Mamy funkcję: f(x) = 2x² + 5x + 2 ⇒ a = 2, b = 5, c = 2
i przedział <-2, 2>.
Obliczamy odciętą wierzchołka:
p = -5/(2 · 2) = -5/4 = -1 1/4 ∈ <-2, 2>
Jako, że a = 2 > 0, to ramiona paraboli są skierowane w góre. W związku z tym funkcja w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą równą q:
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9
q = -9/(4 · 2)
q = - 9/8
Jako, że p = -5/4 jest bardziej oddalone od 2 niż od -2. W związku z tym, wartość największa będzie dla x = 2:
f(2) = 2 · 2² + 5 · 2 + 2 = 8 + 10 + 2 = 20
