Odpowiedź:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{4^n+2^n+8^n-2n}=\\\\\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{8^n(\frac{4^n}{8^n}+\frac{2^n}{8^n}+\frac{8^n}{8^n}-\frac{2n}{8^n})}=\\\\\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{8^n\left(\left(\frac{4}{8}\right)^n+\left(\frac{2}{8}\right)^n+1-\frac{2n}{8^n}\right)}=\\\\\lim\limits_{n\to\infty}8\sqrt[n]{\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{4}\right)^n+1-\frac{2n}{8^n}}[/tex]
Zauważmy, że dla [tex]n\to\infty[/tex] mamy
[tex]\left(\frac{1}{2}\right)^n\to0\\\\\left(\frac{1}{4}\right)^n\to0\\[/tex]
Dodatkowo także
[tex]\frac{2n}{8^n}\to0[/tex]
ponieważ dół ułamka będzie rósł szybciej niż góra.
Mówiąc bardziej matematycznie, to mianownik będzie rósł szybciej niż licznik, ponieważ funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż funkcja liniowa.
Zatem nasza granica będzie równa
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}8\sqrt[n]{\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{4}\right)^n+1-\frac{2n}{8^n}}=8\sqrt[n]{0+0+1-0}=8\sqrt[n]{1}=8\cdot1=8[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
