Liczba [tex]a=4[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)=x^3-2x^2-9x+4[/tex]. Wyznacz jego pozostały pierwiastki. Rozłóż wielomian na czynniki
Wielomian rozłożony na czynniki ma postać:
[tex]W(x)=(x-4)(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})[/tex]
Obliczenia:
Wiemy, że liczba [tex]4[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu, zatem możemy rozłożyć go na czynniki korzystając ze schematu Hornera (tabelka w załączniku).
Otrzymaliśmy:
[tex]W(x)=(x-4)(x^2+2x-1)[/tex]
Aby rozłożyć drugi nawias na czynniki, obliczamy deltę a następnie miejsca zerowe:
[tex]\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4+4=8[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{2}}{2} =-1+\sqrt{2}[/tex]
Ostatecznie zatem możemy zapisać:
[tex]W(x)=(x-4)(x-(-1-\sqrt{2}))(x-(-1+\sqrt{2}))=(x-4)(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})[/tex]
