[tex]3x^3+10x^2-x-12=0[/tex]
Szukamy pierwiastka wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego.
Wyraz wolny -12 ma dzielniki
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
Sprawdzamy, czy któryś z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu.
[tex]x=1\\3*1^3+10*1^2-1-12=3+10-13=13-13=0[/tex]
Udało się (całkiem szybko) znaleźć jeden z pierwiastków wielomianu.
Skoro 1 jest pierwiastkiem wielomianu, to wielomian ten, na mocy tw. Bezoute'a, dzieli się bez reszty przez dwumian x-1.
Wykonajmy dzielenie metodą Hornera.
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|} & 3 & 10&-1&-12\\\cline{1-5} 1 & 3 & 13&12&=\\\cline{1-5}\end{tabular}[/tex]
Wyjściowe równanie możemy teraz zapisać jako
[tex](x-1)(3x^2+13x+12)=0[/tex]
Pierwszy nawias to dwumian, przez który dzieliliśmy, zaś drugi nawias to wielomian o 1 stopień niższy niż wyjściowy wielomian (tutaj stopnia 2, bo wyjściowy ma stopień 3), którego współczynniki są w dolnym wierszu tabelki ze schematu Hornera.
Pozostaje znaleźć pierwiastki wielomianu w drugim nawiasie. Zrobimy to z użyciem delty.
[tex]\Delta=13^2-4*3*12=169-144=25\\\sqrt\Delta=5\\x_1=\frac{-13-5}{2*3}=\frac{-18}{6}=-3\\x_2=\frac{-13+5}{2*3}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}[/tex]
Ostatecznie rozwiązania równania to
[tex]x\in\{-3,-\frac{4}{3},1\}[/tex]
