Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{d)\ \dfrac{2\cos^2\alpha-1}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha}\\\boxed{e)\ (\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2}\\\boxed{f)\\\cos^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=1}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]d)\\\dfrac{2\cos^2\alpha-1}{\sin\alpha+\cos\alpha}[/tex]
skorzystamy z tożsamości:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]=\dfrac{2\cos^2\alpha-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\dfrac{2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\\\\=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]=\dfrac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha[/tex]
[tex]e)\\(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a\pm b)^=a^2\pm2ab+b^2[/tex]
[tex]=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\\\\=2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha=2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)[/tex]
skorzystamy z tożsamości:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]=2\cdot1=2[/tex]
[tex]f)\\\cos^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+\sin^2\alpha[/tex]
skorzystamy z tożsamości:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]=\cos^2\alpha\cdot1+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha[/tex]
skorzystamy z tożsamości:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]=1[/tex]
