Odpowiedź:
:)
[tex]W(x)=x^4+px^2+q[/tex]
[tex]P(x)=x^2+6x+5[/tex]
Dla jakich niewiadomych "p" oraz "q" wielomian W(x) będzie podzielny przez trójmian P(x)?
Wielomian W(x) będzie podzielny przez trójmian P(x),gdy pierwiastek trójmianu P(x) będzie piewiastkiem wielomianu W(x).
Znajdźmy pierwiastki trójmianu P(x).
[tex]x^2+6x+5=0\\\\\Delta=6^2-4*5=36-20=16\ \ \ /\sqrt{} \\\\\sqrt{\Delta}=4\\\\x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5\\\\x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}=-1[/tex]
Trójmian P(x) możemy zapisać teraz w postaci iloczynowej:
[tex]P(x)=(x+1)(x+5)[/tex]
Tak jak wspomniałem wyżej:
Wielomian W(x) będzie podzielny przez trójmian P(x), gdy pierwiastki trójmianu P(x) będą pierwiastkami wielomianu W(x).
Zatem:
W(-1)=0
W(-5)=0
[tex]\left \{ {{W(-1)=(-1)^4+p(-1)^2+q=0} \atop {}W(-5)=(-5)^4+p(-5)^2+q=0} \right. \\\\\left \{ {{1+p+q=0} \atop {625+25p+q=0}} \right. \\\\\left \{ {{q=-p-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {625+25p+(-p-1)=0}} \right. \\\\625+25p+(-p-1)=0\\\\625+25p-p-1=0\\\\24p=-624\ \ \ /:24\\\\p=-\frac{624}{24}=-26[/tex]
Mamy "p"! Wyznaczmy teraz "q" podstawiając nasz p to dowolnego równania z układu równań!
[tex]q=-p-1\\\\q=-(-26)-1=26-1=25[/tex]
Wielomian W(x) będzie podzielny przez trójmian P(x) dla:
[tex]p=-26\\\\q=25[/tex]
