Rysunek w załączniku.
Aby obliczyć długość szukanego boku c korzytam z Tw. cosinusów ( kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków trójkąta pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawatrego między nimi ).
[tex]c^{2} =a^{2} +b^{2} -2\cdot a\cdot b \cdot cos 120^{o} ~~\land~~a=2~~\land~~b=4\\\\cos120^{o} =cos(180^{o} -60^{o} )=-cos60^{o} =-\dfrac{1}{2}\\\\c^{2} =2^{2} +4^{2}-2\cdot 2\cdot 4\cdot (-\dfrac{1}{2} ) \\\\c^{2} =4+16+8\\\\c^{2} =28~~\land~~c > 0~~\Rightarrow~~c=\sqrt{28}[/tex]
Aby obliczyć R promień okręgu opisanego na trójkącie ABC i miary kątów α, β korzytam z Tw.sinusów ( w dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta na przeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie )
R - długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
a, b - szukane boki trójkąta
znamy: γ = 120° , c = √28
sin120° = sin ( 180° - 60° ) = sin60° = √3/2
[tex]\dfrac{a}{sin\alpha } =\dfrac{b}{sin\beta } =\dfrac{c}{sin120^{o} } =2R\\\\2R=\dfrac{c}{sin120^{o} } ~~\land~~c=\sqrt{25} ~~\land~~sin120^{o} =\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\\\2R=\dfrac{\sqrt{28} }{ \dfrac{\sqrt{3} }{2}} \\\\2R=\sqrt{28} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} } \\\\2R=\dfrac{2\sqrt{28} }{\sqrt{3} } ~~\mid \div 2\\\\R=\dfrac{\sqrt{28} }{\sqrt{3} }\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =\dfrac{2\sqrt{21} }{3}[/tex]
[tex]\sqrt{28} \approx 5,29~~\land~~\sqrt{3} \approx 1,73~~\Rightarrow~~2R\approx 6,12\\\\\dfrac{a}{sin\alpha } =2R~~\Rightarrow~~sin\alpha =\dfrac{a}{2R} ~~\land~~a=2~~\land~~2R\approx 6,12~~\Rightarrow~~sin\alpha \approx 0,3267\\\\sin\alpha \approx 0,3267~~(\alpha ~~odczytuje~~z~~tablic)~~\Rightarrow~~\alpha \approx 19^{o}[/tex]
[tex]\dfrac{b}{sin\beta } =2R~~\Rightarrow~~sin\beta =\dfrac{b}{2R} ~~\land~~b=4~~\land~~2R\approx 6,12~~\Rightarrow~~sin\beta \approx 0,6535\\\\sin\beta \approx 0,6535~~(\beta ~~odczytuje~~z~~tablic)~~\Rightarrow~~\beta \approx 41^{o}[/tex]
Odp: Szukane miary kątów w trójkącie ABC wynoszą: α = 19°, β = 41°, długość trzeciego boku trójkąta c = √28 oraz promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi [tex]R=\dfrac{2\sqrt{21} }{3} ~~(R\approx 3,06)[/tex].
