Aby wyznaczyć monotoniczność, wartość największą, zbiór wartości i oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej wystarczy znać współrzędne wierzchołka tej praboli oraz współczynnik a.
Dana jest funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej:
y = -2x(x + 6) ⇒ a = -2
Wyznaczamy miejsca zerowe:
-2x(x + 6) = 0
-2x = 0 ∨ x + 6 = 0
x₁ = 0 x₂ = -6
Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:
[tex]p=\dfrac{x_1+x_2}2\\\\p=\dfrac{0-6}2=\dfrac{-6}2\\\\\bold{p=-3}[/tex]
Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka:
[tex]q=f(p)=-2\cdot(-3)\cdot(-3+6)=6\cdot3\\\\\bold{q=18}[/tex]
Jeśli a<0 to funkcja kwadratowa rośnie do wierzchołka, a od wierzchołka maleje. Monotoniczność odczytujemy na osi 0X (współrzędna p), czyli:
[tex]\boxed{\bold{f\nearrow\ dla\ x\in(-\infty,\,-3\big > }\atop\\\big{\bold{f\searrow\ dla\ x\in\big < {-}3,\ \infty)\ \ }}}[/tex]
Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej to x = p
Czyli:
[tex]\boxed{\bold{\ \big x=-3\ }}[/tex]
Wartość największą (dla a<0) funkcja kwadratowa przyjmuje na wierzchołku.
Czyli:
[tex]\boxed{\bold{\ f_{max}= q= 18\big \ }}[/tex]
Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest zbiorem ograniczonym z jednej strony przez wartość największą funkcji (lub najmniejszą jeśli a>0).
Czyli:
[tex]\boxed{\bold{\ ZW=(-\infty,\,18\big > \ }}[/tex]
