Przyjmijmy współrzędne punktu C(x, y).
Punkt C leży na prostej określonej równaniem x - y + 4 = 0.
W związku z tym współrzędne punktu C spełniają równanie prostej.
Jest ono w postaci ogólnej (Ax + By + C = 0).
Przekształćmy na postać kierunkową (y = ax + b):
x - y + 4 = 0 |+y
Mamy punkty A(-1, -1) i B(7, 3).
Punkty A, B i C mają być wierzchołkami trójkąta prostokątnego o kącie prostym w wierzchołku C.
Najprostszym sposobem rozwiązania tego zadania będzie rozwiązanie za pomocą wektorów.
Współrzędne wektora AB:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A][/tex]
Określmy współrzędne wektorów AC i AB:
[tex]\overrightarrow{AC}=[x-(-1),\ y-(-1)]=[x+1,\ y+1]\\\\\overrightarrow{BC}=[x-7,\ y-3][/tex]
Powyższe wektory mają być prostopadłe.
Gdy wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy 0.
Iloczyn skalarny wektorów:
[tex]\overrightarrow{v}=[a,\ b],\ \overrightarrow{w}=[c,\ d]\\\\\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=ac+bd[/tex]
Iloczyn skalarny naszych wektorów:
[tex]\overrightarrow{AC}\ \circ\ \overrightarrow{BC}=(x+1)(x-7)+(y+1)(y-3)[/tex]
Za y podstawiamy wyrażenie z równania prostej (y = x + 4):
[tex]=(x+1)(x-7)+(x+4+1)(x+4-3)\\\\=(x+1)(x-7)+(x+5)(x+1)\\\\=x^2-7x+x-7+x^2+x+5x+5\\\\=2x^2-2[/tex]
Przyrównujemy do 0:
[tex]2x^2-2=0\qquad|+2\\x^2=2\qquad|:2\\x^2=1\to x=\pm\sqrt1\\\\x=-1\ \vee\ x=1[/tex]
obliczamy wartość y:
[tex]x=-1\\y=-1+4\\y=3\\\\x=1\\y=1+4\\y=5[/tex]
