Odpowiedź:
sinα = - 7/25
cosα = -24/25
ctgα = 24/7
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy dane:
[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{7}{24}\\\\\alpha\in(180^o,\ 270^o)[/tex]
kąt α leży w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
W trzeciej ćwiertce funkcje tangens i kotangens przyjmują wartości dodatnie, a sinus i kosinus wartosci ujemne.
Do obliczenia wartości funkcji kotangens skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{ctg}x=\dfrac{1}{\text{tg}x}[/tex]
[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{7}{24}\Rightarrow\text{ctg}\alpha=\dfrac{24}{7}[/tex]
Do obliczenia wartości funkcji sinus i kosinus skorzystamy z tożsamości:
[tex]\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
Tworzymy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{7}{24}\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}24\sin\alpha=7\cos\alpha&|:24\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}\sin\alpha=\dfrac{7}{24}\cos\alpha&(1)\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (1) do (2):
[tex]\left(\dfrac{7}{24}\cos\alpha\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{49}{576}\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{49}{576}\cos^2\alpha+\dfrac{576}{576}\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{625}{576}\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot\dfrac{576}{625}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{576}{625}\Rightarrow\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{576}{625}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{24}{25} < 0\ \vee\ \cos\alpha=\dfrac{24}{25} > 0[/tex]
Bierzemy tylko pierwsze rozwiązanie i podstawiamy do (1):
[tex]\sin\alpha=\dfrac{7}{24}\cdot\left(-\dfrac{24}{25}\right)\\\\\sin\alpha=-\dfrac{7}{25}[/tex]
