Geometria analityczna, dwusieczna kąta.
[tex](*)[/tex] dla dowolnych punktów [tex]A=(x_A,y_A)[/tex] i [tex]B=(x_B,y_B)[/tex] prosta przechodząca przez te punkty jest opisana równaniem:
[tex](y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0[/tex]
[tex](**)[/tex] kwadrat odległości punktu [tex]X=(x_0,y_0)[/tex] od prostej [tex]p[/tex] opisanej równaniem [tex]Ax+By+C=0[/tex] jest równy:
[tex][d(X,p)]^2 = \frac{(A x_0 + B y_0 +C)^2}{A^2+B^2}[/tex]
- Musimy najpierw wymyślić, jak znaleźć funkcję opisującą dwusieczną kąta. Wiemy, że środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na punkcie przecięcia dwusiecznych. Dwusieczna jest więc to prosta przechodząca przez wybrany z wierzchołków i wspomniany środek okręgu wpisanego.
- Z kolei środek okręgu wpisanego to także punkt równoodległy od trzech prostych opisujących ramiona trójkąta. Każda z nich jest opisana równaniem prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty [tex](*)[/tex], mamy więc:
[tex]AB: \\(y-1)(7-4)-(5-1)(x-4)=0\\3y-3-4x+16=0\\3y-4x+13=0[/tex]
[tex]BC: \\(y-5)(-4-7)-(7-5)(x-7)=0\\-11y+55-2x+14=0\\11y+2x-69=0[/tex]
[tex]AC: \\(y-1)(-4-4)-(7-1)(x-4)=0\\-8y+8-6x+24=0\\-8y-6x+32=0\\4y+3x-16=0[/tex] - Z kolei z [tex](**)[/tex] mamy:
[tex][d(S,AB)]^2 =\frac{(3y-4x+13)^2}{3^2+4^2}=\frac{1}{25}(3y-4x+13)^2[/tex]
[tex][d(S,BC)]^2 =\frac{(11y+2x-69)^2}{11^2+2^2}=\frac{1}{125}(11y+2x-69)^2[/tex]
[tex][d(S,AC)]^2 =\frac{(4y+3x-16)^2}{4^2+3^2}=\frac{1}{25}(4y+3x-16)^2[/tex] - Przyrównując pierwsze i trzecie wyrażenie dostajemy równanie:
[tex]4y+3x-16=3y-4x+13\\y=29-7x[/tex]
zaś wstawiając wartość [tex]y[/tex] i przyrównując pierwsze i drugie wyrażenie mamy:
[tex]5[3(29-7x)-4x+13]^2=[11(29-7x)+2x-69]^2[/tex]
które to można uprościć do:
[tex](x-\frac{5}{2})^2 = \frac{5}{4}[/tex]
o dwóch rozwiązaniach:
[tex]x = \frac{1}{2}(5 \pm \sqrt5)[/tex]
dających także:
[tex]y=29-\frac{7}{2}(5 \pm \sqrt5) =\frac{1}{2}(23 \pm 7\sqrt5)[/tex] - Porównując z rysunkiem możemy stwierdzić, że interesujące nas rozwiązanie (współrzędne środka okręgu wpisanego) to punkt:
[tex]S = \left(\frac{1}{2}(5+\sqrt5); \frac{1}{2}(23-7\sqrt5)\right)[/tex] - Następnie możemy w końcu wyznaczyć równanie szukanej dwusiecznej:
[tex]AS:\\(y-1)\left(\frac{1}{2}(5+\sqrt5)-4\right)-\left(\frac{1}{2}(23-7\sqrt5)-1\right)(x-4)=0\\(y-1)\left(5+\sqrt5-8\right)-\left(23-7\sqrt5-2\right)(x-4)=0\\(y-1)(-3+\sqrt5)-(21-7\sqrt5)(x-4)=0\\y+7x-29=0[/tex] - Zaś stąd współrzędne punktu przecięcia prostych [tex]AS[/tex] i [tex]BC[/tex] to punkt spełniający układ równań:
[tex]11y+2x-69=0\\y+7x-29=0[/tex]
przekształcamy i wstawiamy:
[tex]y=29-7x\\11(29-7x)+2x=69[/tex]
dostając:
[tex]x= \frac{10}{3}\\y= \frac{17}{3}[/tex] - Finalnie szukane współrzędne to: [tex](\frac{10}{3};\frac{17}{3})[/tex]
