Odpowiedź:
x² + y² = 580
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=16x^2+\dfrac{1}{x}=\dfrac{16x^3+1}{x},\ x\neq0[/tex]
Równanie okręgu:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
[tex](a,b)[/tex] - środek okręgu
[tex]r[/tex] - długość promienia okręgu
Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x₀, y₀):
y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)
Obliczamy pochodną funkcji f(x):
[tex]f'(x)=\dfrac{(16x^3+1)'\cdot x-(16x^3+1)\cdot(x)'}{x^2}=\dfrac{48x^2\cdot x-(16x^3+1)\cdot1}{x^2}\\\\=\dfrac{48x^3-16x^3-1}{x^2}=\dfrac{32x^3-1}{x^2}[/tex]
Obierzmy sobie punkt styczności:
[tex]\bigg(s,\ f(s)\bigg)=\bigg(s,\ \dfrac{16s^3+1}{s}\bigg)[/tex]
Podstawiamy do równania stycznej:
[tex]y-\dfrac{16s^3+1}{s}=\dfrac{32s^3-1}{s^2}(x-s)\\\\y-\dfrac{16s^3+1}{s}=\dfrac{32s^3-1}{s^2}x+\dfrac{-32s^2+1}{s}\qquad|+\dfrac{16s^3+1}{s}\\\\y=\dfrac{32s^3-1}{s^2}x+\dfrac{-16s^3+2}{s}[/tex]
Styczna ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli przez punkt (0, 0).
Podstawiamy współrzędne:
[tex]0=\dfrac{32s^3-1}{s^2}\cdot0+\dfrac{-16s^3+2}{s}\\\\\dfrac{-16s^3+2}{s}=0\iff-16s^3+2=0\qquad|-2\\\\-16s^3=-2\qquad|:(-16)\\\\s^3=\dfrac{1}{8}\Rightarrow s=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}\\\\s=\dfrac{1}{2}[/tex]
Podstawiamy do równania stycznej:
[tex]y=\dfrac{32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}x+\dfrac{-16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+2}{\frac{1}{2}}\\\\y=\dfrac{32\cdot\frac{1}{8}-1}{\frac{1}{4}}x+\dfrac{-16\cdot\frac{1}{8}+2}{\frac{1}{2}}\\\\y=\dfrac{4-1}{\frac{1}{4}}x+\dfrac{-2+2}{\frac{1}{2}}\\\\y=3\cdot\dfrac{4}{1}x+\dfrac{0}{\frac{1}{2}}\\\\y=12x[/tex]
Mamy równanie stycznej.
Obliczamy teraz współrzędne punktu przecięcia stycznej z parabolą o zadanym równaniu:
[tex]\underline{-\left\{\begin{array}{ccc}y=3x^2+12x-12\\y=12x\end{array}\right}\\.\qquad0=3x^2-12\qquad|-3x^2\\.\qquad-3x^2=-12\qquad|:(-3)\\.\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm\sqrt4\\.\qquad x=-2\ \vee\ x=2[/tex]
Obliczamy drugą współrzędną punktów A i B podstawiając wartości x do równania stycznej:
[tex]y=12\cdot(-2)=-24\ \vee\ y=12\cdot2=24[/tex]
Mamy punkty A(-2, -24) i B(2, 24), które są średnicą szukanego okręgu.
Obliczamy współrzędne środka odcinka AB korzystając ze wzoru:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_b}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
podstawiamy:
[tex]S_{AB}\left(\dfrac{-2+2}{2},\ \dfrac{-24+24}{2}\right)\Rightarrow S_{AB}(0,\ 0)[/tex]
Mamy środek szukanego okręgu.
Teraz potrzeba nam jeszcze do obliczenia długość jego promienia.
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]r=|SB|=\sqrt{(2-0)^2+(24-0)^2}=\sqrt{2^2+24^2}=\sqrt{4+576}=\sqrt{580}[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy okrąg o środku (0, 0) i promieniu √580.
Podstawiamy do równania okręgu:
[tex](x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{580})^2\\\\x^2+y^2=580[/tex]
