Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{0 < k < \dfrac{13\sqrt2}{2}\Rightarrow k\in\{1,\ 2,\ 3,...,9\}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby okrąg był rozłączny z prostą, odległość prostej od środka tego okręgu musi być większa od promienia tego okręgu.
Mamy równanie okręgu:
(x - 2)² + (y + 5)² = k²
Z niego odczytujemy środek okręgu oraz długość promienia:
S(2, -5), r = kl
Równanie prostej:
x + y - 10 = 0
Wzór na ogległość punktu (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0:
[tex]d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Z tego równania budujemy nierówność i podstawiamy:
[tex]d=k,\ x_0=2,\ y_0=-5,\ A=1,\ B=1,\ C=-10[/tex]
[tex]k < \dfrac{|1\cdot2+1\cdot(-5)+(-10)|}{\sqrt{1^2+1^2}}\\\\k < \dfrac{|2-5-10|}{\sqrt{1+1}}\\\\k < \dfrac{|-13|}{\sqrt2}\\\\k < \dfrac{13}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\k < \dfrac{13\sqrt2}{2}\approx9,192[/tex]
