Odpowiedź:
x + 2y + 3√5 - 3 = 0
lub
x + 2y - 3√5 - 3 = 0
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r²
S(a, b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Niech dane będą dwa okręgi:
O₁(S₁, r₁), O₂(S₂, r₂)
Wówczas:
Jeżeli |S₁S₂| = r₁ + r₂, to okręgi są styczne zewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| = |r₁ - r₂|, to okręgi są styczne wewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| > r₁ + r₂, to okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| < |r₁ - r₂|, to okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Jeżeli |r₁ - r₂| < |S₁S₂| < r₁ + r₂, to okręgi przecinają się.
Mamy równanie okręgu:
(x + 1)² + (y - 2)² = 9
Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia:
S(-1, 2), r = √9 = 3
Szukana styczna ma być równoległa do prostej określonej równaniem
x + 2y + 3 = 0, stąd będzie miała ona równanie x + 2y + C = 0.
Odległość środka okręgu od tej prostej ma być równe długości promienia.
Odległość punktu od prostej obliczamy ze wzoru:
[tex]P(x_0,\ y_0),\ Ax+By+C=0\\\\d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]d=3,\ A=1,\ B=2,\ C=C,\ x_0=-1,\ y_0=2[/tex]
[tex]\dfrac{|1\cdot(-1)+2\cdot2+C|}{\sqrt{1^2+2^2}}=3\\\\\dfrac{|-1+4+C|}{\sqrt{1+4}}=3\\\\\dfrac{|3+C|}{\sqrt5}=3\qquad|\cdot\sqrt5\\\\|3+C|=3\sqrt5\Rightarrow3+C=3\sqrt5\ \vee\ 3+C=-3\sqrt5\qquad|-3\\\\C=3\sqrt5-3\ \vee\ C=-3\sqrt5-3[/tex]
Ostatecznie otrzymujmey dwa równania stycznych do okręgu równoległych do danej prostej:
[tex]x+2y+3\sqrt5-3=0\\\\x+2y-3\sqrt5-3=0[/tex]
