Odpowiedź:
A. i C.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli okrąg o środku S(2, -1) i promieniu r = 1 ma mieć jeden punkt wspólny z prostą AB, to znaczy, że prosta AB jest styczna do okręgu i jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi okręgu.
Równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0
Odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 wyraża się zworem:
[tex]d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\AB:\ y-y_A=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)[/tex]
Bierzemy punkty z podpunktów:
A.
A(1, -2), B(1, 7)
Jako, że odcięte tych punktów są równe, to jest to prosta pionowa o równaniu x = 1.
Odległość tej prostej od środka okręgu S(2, -1) wynosi
d = |2 - 1| = 1
odległość jest równa długości promienia okręgu. Czyli prosta jest styczna do okręgu.
B.
A(-3, -1), B(1, 4)
[tex]y-(-1)=\dfrac{4-(-1)}{1-(-3)}(x-(-3))\\\\y+1=\dfrac{4+1}{1+3}(x+3)\\\\y+1=\dfrac{5}{4}(x+3)\\\\y+1=\dfrac{5}{4}x+\dfrac{15}{4}\qquad|\cdot4\\\\4y+4=5x+15\qquad|-4y-4\\\\5x-4y+11=0\\\\A=5,\ B=-4,\ C=11\\\\d=\dfrac{|5\cdot2+(-4)\cdot(-1)+11|}{\sqrt{5^2+(-4)^2}}=\dfrac{|10+4+11|}{\sqrt{25+16}}=\dfrac{|25|}{\sqrt{41}}=\dfrac{25}{\sqrt{41}} > 1[/tex]
Prosta leży poza okręgiem.
C.
A(-2, 0), B(5, 0)
Jako, że rzędne tych punktów są równe, to prosta jest pozioma o równaniu y = 0.
Odległość prostej od środka okręgu S(2, -1) wynosi
d = |-1 - 0| = |-1| = 1
odległość jest równa długości promienia okręgu. Czyli prosta jest styczna do okręgu.
D.
A(3, 3), B(1, -3)
[tex]y-3=\dfrac{-3-3}{1-3}(x-3)\\\\y-3=\dfrac{-6}{-2}(x-3)\\\\y-3=3(x-3)\\\\y-3=3x-9\qquad|-y+3\\\\3x-y-6=0\\\\A=3,\ B=-1,\ C=-6\\\\d=\dfrac{|3\cdot2+(-1)\cdot(-1)+(-6)|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{|6+1-6|}{\sqrt{9+1}}=\dfrac{|1|}{\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}} < 1[/tex]
Prosta jest sieczną okręgu.
