Odpowiedź:
styczne zewnętrznie dla r = √5
styczne wewnętrznie dla r = 3√5
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r²
S(a, b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Niech dane będą dwa okręgi:
O₁(S₁, r₁), O₂(S₂, r₂)
Wówczas:
Jeżeli |S₁S₂| = r₁ + r₂, to okręgi są styczne zewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| = |r₁ - r₂|, to okręgi są styczne wewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| > r₁ + r₂, to okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| < |r₁ - r₂|, to okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Jeżeli |r₁ - r₂| < |S₁S₂| < r₁ + r₂, to okręgi przecinają się.
Mamy dany okrąg:
(x + 3)² + (y - 2)² = 5
odczytujemy:
S₁(-3, 2), r₁ = √5
Drugi okrąg ma środek S₂(-1, 6).
Obliczmy odległość między środkami korzystając ze wzoru na długość odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Podstawiamy współrzędne środków okręgów:
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(-1-(-3))^2+(6-2)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}\\|S_1S_2|=2\sqrt5[/tex]
Okręgi mają być styczne. Zatem musi zachodzić warunek |S₁S₂| = r₁ + r₂ (styczne zewnętrznie) lub |S₁S₂| = |r₁ - r₂| (styczne wewnętrznie).
[tex]2\sqrt5=\sqrt5+r_2\qquad|-\sqrt5\\r_2=\sqrt5[/tex]
[tex]2\sqrt5=|\sqrt5-r_2|\to\sqrt5-r_2=2\sqrt5\ \vee\ \sqrt5-r_2=-2\sqrt5\qquad|-\sqrt5\\\\-r_2=\sqrt5\ \vee\ -r_2=-3\sqrt5\qquad|\cdot(-1)\\\\r_2=-\sqrt5 < 0\ \vee\ r_2=3\sqrt5[/tex]
