Wykres funkcji, przedziały wartości.
- Mamy funkcję opisaną wzorem:
[tex]f(x) = \frac{7x}{x+a}[/tex]
dla [tex]x[/tex] różnego od [tex]-a[/tex]
oraz wiemy, że w przedziałach [tex](-\infty;-2),(-2;+\infty)[/tex] funkcja jest rosnąca. - Stąd możemy zauważyć, że [tex]a=2[/tex], bo dla [tex]x=-a=-2[/tex] mamy asymptotę funkcji [tex]f(x)[/tex].
- Z kolei inna funkcja:
[tex]g(x) = \frac{2x^2}{b-x}[/tex]
przyjmuje wartości ujemne jedynie dla [tex]x \in (3; + \infty)[/tex] - Widzimy więc, że [tex]b=3[/tex], bo licznik jest zawsze dodatni, zaś cały ułamek ma być ujemny dla [tex]x > 3[/tex].
- Stąd:
[tex]a=2\\b=3[/tex]
czyli:
[tex]f(x) = \frac{7x}{x+2}\\g(x) = \frac{2x^2}{3-x}[/tex] - Funkcje przecinają się, gdy [tex]f(x) =g(x)[/tex], czyli:
[tex]\frac{7x}{x+2} = \frac{2x^2}{3-x}\\7x(3-x) = 2x^2 (x+2)\\x(21-7x-2x^2-4x) = 0\\-x(2x^2+11x-21)=0[/tex] - Mamy w nawiasie funkcję kwadratową, dla której:
[tex]2x^2 +11x -21 =0\\\Delta = 121+4*2*21 = 121+ 168 = 289\\x = \frac{1}{2*2} (-11 \pm \sqrt{289})\\x= \frac{1}{4}(-11\pm 17)\\x = \frac{3}{2} \quad \vee \quad x=-7[/tex] - Stąd punkty przecięcia to (liczymy wartość dowolnej z funkcji dla każdego z powyższych argumentów):
[tex](0;0)\\(\frac{3}{2}; 3)\\(-7;\frac{49}{5})[/tex]
By wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia wybranych funkcji, należy policzyć ich wartość dla tego samego argumentu [tex]x[/tex] i przyrównać te wartości do siebie. Otrzymane wyrażenie na [tex]x[/tex] pozwoli na znalezienie współrzędnych x-owych, współrzędne y-owe wyznaczamy licząc wartość funkcji w tych punktach.
Dla funkcji kwadratowej postaci:
[tex]ax^2 + bx+c =0[/tex]
mamy:
[tex]\Delta = b^2 - 4ac\\x= \frac{1}{2a}(-b \pm \sqrt{\Delta})[/tex]
