Odpowiedź:
[tex]|AP|=15cm\\ |BP|=4cm\\ |CP|=7,5cm\\ |DP|=8cm[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wiemy, że |AB|=19cm i |CD|=15,5cm, a |AP|:|CP|=2
Skorzystamy z twierdzenia o odcinkach siecznych. Twierdzenie to mówi, że jeżeli sieczne przecinają się w pewnym punkcie należącym do okręgu, to |AP|·|BP|=|CP|·|DP|.
Układamy układ równań (patrz rysunek):
[tex]\left \{ {{\frac{AP}{CP}=2 } \atop {(AB-AP)AP=(CD-CP)CP}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{\frac{AP}{CP}=2 } \atop {(19-AP)AP=(15,5-CP)CP}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{AP=2CP} \atop {19AP-AP^{2} =15,5CP-CP^{2}}} \right.\\[/tex]
Rozwiązujemy równanie:
[tex]19*2CP-(2CP)^{2}=15,5CP-CP^{2}\\19*2CP-(2CP)^{2}-(15,5CP-CP^{2})=0\\38CP-4CP^{2}-15,5CP+CP^2}=0\\ 22,5CP-3CP^{2}=0\\CP(22,5-3CP)=0\\CP=0 \\ lub \\ CP=7,5\\[/tex]
Podstawiamy do równania i obliczamy |AP|
[tex]\frac{AP}{7,5}=2\\ AP=15[/tex]
Gdy mamy już odcinki |AP| i |CP| możemy je odjąć od długości cięciw |AB| i |CD| aby otrzymać |BP| i |DP|:
[tex]AB-AP=BP\\19cm-15cm=4cm\\[/tex] [tex]CD-CP=DP\\15,5cm-7,5cm=8cm[/tex]
