Odpowiedź:
[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=\frac{z+55}{4}\\y=\frac{3z+25}{4}\\z \in \mathbb{R}\end{array}\right[/tex]
Rozwiązanie:
Układ rozwiążemy metodą Gaussa Jordana. Macierz (lekko zmieniona kolejność):
[tex]$\left[\begin{array}{ccccc}1&-3&2\\0&-4&3\\3&-1&0\\4&0&-1\\11&3&-5\end{array}\right| \left\begin{array}{ccccc}-5\\-25\\35\\55\\170\end{array}\right][/tex]
Najpierw wykonamy operacje:
[tex]$\left\begin{array}{ccc}w_{3}-3w_{1}\\w_{4}-4w_{1}\\w_{5}-11w_{1}\end{array}\right[/tex]
Dostajemy macierz:
[tex]$\left[\begin{array}{ccccc}1&-3&2\\0&-4&3\\0&8&-6\\0&12&-9\\0&36&-27\end{array}\right| \left\begin{array}{ccccc}-5\\-25\\50\\75\\225\end{array}\right][/tex]
Teraz:
[tex]$\left\begin{array}{ccc}w_{3}+2w_{1}\\w_{4}+3w_{1}\\w_{5}+9w_{1}\end{array}\right[/tex]
Dostajemy:
[tex]$\left[\begin{array}{ccccc}1&-3&2\\0&-4&3\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right| \left\begin{array}{ccccc}-5\\-25\\0\\0\\0\end{array}\right][/tex]
Zerowe wiersze możemy wyrzucić i ostatecznie macierz przybiera postać:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-4&3\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}-5\\-25\end{array}\right][/tex]
Mamy:
[tex]k=R([A \ | \ b ])=R(A)=2[/tex]
[tex]n=3[/tex]
Na podstawie twierdzenia Kroneckera Capallego mamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od [tex]n-k=3-2=1[/tex] parametru.
Rozwiązanie:
[tex]$-4y+3z=-25 \iff y=\frac{3z+25}{4}[/tex]
[tex]$x-3y+2z=-5 \iff x=3y-2z-5=\frac{z+55}{4}[/tex]
[tex]z \in \mathbb{R}[/tex]
