Witaj :)
Do rozwiązania zadania skorzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu gemoetrycznego.
Jeżeli mamy dane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:
[tex]\Large \boxed{a_{n-1};a_n;a_{n+1}}[/tex]
To zachodzi taka zależność, że kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych, co możemy zapisać:
[tex]\Large \boxed{a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}[/tex]
Dane mamy następujące wyrazy ciągu geometrycznego:
[tex]x,x+1,2x+2[/tex]
gdzie:
[tex]a_{n-1}=x\\a_n=x+1\\a_{n+1}=2x+2[/tex]
Wobec czego:
[tex](x+1)^2=x(2x+2)[/tex]
Rozwiązujemy powyższe równanie:
[tex](x+1)^2=x(2x+2)\\x^2+2x+1=2x^2+2x\\x^2-2x^2+2x-2x+1=0\\-x^2+1=0\ / \cdot (-1)\\x^2-1=0\\(x-1)(x+1)=0\iff x-1=0 \implies x=1\ \ \ \vee \ \ \ x+1=0\implies x=-1[/tex]
Na podstawie powyższych obliczeń mamy [tex]x\in \{-1,1\}[/tex]
Odpowiedź.: Dane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dla x=-1 lub x=1.
