Szczegółowe wyjaśnienie:
Z zależności [tex]x+y=4[/tex] wyliczmy [tex]y[/tex]:
[tex]y=4-x[/tex]
i podstawmy do sumy sześcianów:
[tex]x^3+y^3=x^3+(4-x)^3=x^3+64-48x+12x^2-x^3=12x^2-48x+64[/tex]
Wykresem tego wyrażenia jest parabola zwrócona ramionami ku górze. Najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku. Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli [tex]x_w[/tex]:
[tex]x_w=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{48}{2\cdot 12}=2[/tex]
Obliczyliśmy dla jakiego [tex]x[/tex] suma sześcianów [tex]x^3+y^3[/tex] przyjmuje najmniejszą watość. Policzmy ją:
[tex]12\cdot 2^2-48\cdot 2+64=16[/tex]
Pokazaliśmy, że suma [tex]x^3+y^3[/tex] nie jest mniejsza niż 16 czyli:
[tex]x^3+y^3 \geqslant 16[/tex]
[tex]\\korzystam~~ze~~wzoru ~~skroconego~~mnozenia:\\\\x^{3} +y^{3} =(x+y)\cdot (x^{2} -xy+y^{2} )\\\\x^{3} +y^{3}\geq 16\\\\(x+y)\cdot (x^{2} -xy+y^{2} )\geq 16~~\land~~x+y=4\\\\4\cdot (x^{2} -xy+y^{2} )\geq 16~~\land~~y=4-x\\\\4\cdot (x^{2} -x\cdot (4-x)+(4-x)^{2} )\geq 16\\\\4\cdot (x^{2} -4x+x^{2} +16-8x+x^{2} )\geq 16\\\\4\cdot (3x^{2} -12x+16)\geq 16~~\mid \div 4\\\\ (3x^{2} -12x+16)\geq 4\\\\ 3x^{2} -12x+16\geq 4\\\\ 3x^{2} -12x+16-4\geq 0\\\\\\[/tex]
[tex]3x^{2} -12x+12\geq 0~~\mid \div 3\\\\ x^{2} -4x+4\geq 0\\\\x^{2} -2\cdot 2\cdot x +2^{2} \geq 0\\\\(x-2)^{2} \geq 0[/tex]
Kwadrat wyrażenia jest zawsze nieujemny, zatem jeśli x + y = 4 to x³ + y³ ≥ 16 cbdu.
lub
[tex]x+y=4~~\Rightarrow ~~y=4-x\\\\y^{3} =(4-x)^{3} =64-48x+12x^{2} -x^{3} \\\\x^{3} +y^{3} \geq 16~~\land~~y^{3} =64-48x+12x^{2} -x^{3}\\\\x^{3} +64-48x+12x^{2} -x^{3}\geq 16\\\\64-48x+12x^{2}\geq 16\\\\64-48x+12x^{2}-16\geq 0\\\\48-48x+12x^{2} \geq 0~~\mid \div 12\\\\4-4x+x^{2} \geq 0\\\\2^{2} -2\cdot 2\cdot x +x^{2} \geq 0\\\\(2-x)^{2} \geq 0[/tex]
[tex][(-1) \cdot (-2+x)] ^{2} \geq 0\\\\[/tex]
[tex][(-1) \cdot (x-2)] ^{2} \geq 0\\\\(-1)^{2} \cdot (x-2)^{2} \geq 0\\\\1\cdot (x-2)^{2} \geq 0\\\\ (x-2)^{2} \geq 0[/tex]
Kwadrat wyrażenia jest zawsze nieujemny, zatem jeśli x + y = 4 to x³ + y³ ≥ 16 cbdu.
