Równanie symetralnej do odcinka AB i pole trójkąta ABC.
Dane:
A=(2,-3)
M=(5,2)
C=(-2,y)
Wiemy, że punkt M jest środkiem odcinka AB.Obliczamy więc współrzędne punktu B ze wzoru:
[tex]M=(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ,\frac{y_{A} + y_{B} }{2} } )\\[/tex]
[tex]x_{M} =\frac{2+x_{B} }{2} \\5=\frac{2+x_{B} }{2} \\10=2+x_{B}\\x_{B} =8[/tex] [tex]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B} }{2} \\2=\frac{-3+y_{B} }{2}\\ 4=-3+y_{B}\\ y_{B}=7[/tex]
Punkt B ma współrzędne B=(8,7)
Obliczamy współczynnik kierunkowy a prostej AB ze wzoru:
[tex]a=\frac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A}}[/tex]
A zatem:
[tex]a=\frac{7+3}{8-2}\\ a=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}[/tex]
Prosta CM jest symetralną odcinka AB i jednocześnie jest prostopadła do prostej AB. Jej współczynnik kierunkowy jest równy [tex]-\frac{3}{5}[/tex].
Aby policztyć współczynnik b prostej CM podstawiamy punkt M pod równanie prostej:
[tex]y=-\frac{3}{5}x+b\\2=-3+b\\b=5[/tex]
Wzór symetralnej odcinka AB ma postać: [tex]y=-\frac{3}{5} x+5[/tex]
Teraz obliczamy pole trójkąta ABC.
Najpierw wyznaczymy współrzędną y punktu C. W tym celu pod równanie prostej CM podstawimy współrzędną x punktu C:
[tex]y=-\frac{3}{5}*(-2)+5\\y=\frac{6}{5}+5\\ y=6\frac{1}{5}[/tex]
Gdy mamy już wszystkie współrzędne możemy obliczyć długość podstawy trójkąta (odcinek AB) i wysokość (odcinek CM).
Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:
[tex]AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} +(y_{B}-y_{A})^{2} }[/tex]
[tex]AB=\sqrt{(8-2)^{2} +(7+3)^{2}} \\AB=\sqrt{36+100}\\ AB=2\sqrt{34}[/tex]
[tex]CM=\sqrt{(x_{M}-x_{C})^{2} +(y_{M}-y_{C})^{2} }[/tex]
[tex]CM=\sqrt{(5+2)^{2} +(2-6\frac{1}{5} )^{2} }\\CM=\sqrt{49+17\frac{16}{25} } \\CM=\frac{7}{5} \sqrt{34}[/tex]
Wzór na pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}ah[/tex]
[tex]P=\frac{1}{2}*2\sqrt{34}*\frac{7}{5} \sqrt{34}= 47\frac{3}{5}[/tex]
Pole trójkąta ABC wynosi [tex]47\frac{3}{5}[/tex]
