Współżędne spodka wysokości
Dane:
A=(-3,-3)
B=(5,3)
C=(2,5)
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:
[tex]a=\frac{y_{B}-y_{A} }{x_{B} -x_{A} }=\frac{3+3}{5+3} =\frac{6}{8} } =\frac{3}{4}[/tex]
Prosta AB ma postać:
[tex]y=\frac{3}{4} x+b[/tex]
Aby wyznaczyć współczynnik b podstawiamy pod wzór prostej współrzędne punktu A:
[tex]-3=\frac{3}{4}*(-3)+b\\ -3=-\frac{9}{4} +b\\b=-\frac{3}{4}[/tex]
Prostą AB opiszemy więc wzorem:
[tex]y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{4}[/tex]
Współczynnik prostej prostopadłej do prostej AB wynosi [tex]-\frac{4}{3}[/tex], w związku z tym możemy wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej AB przechodzącą przez punkt C:
[tex]y=-\frac{4}{3} x+b[/tex]
Podstawiamy współżędne punktu C i obliczamy współczynnik b:
[tex]5=-\frac{4}{3}*2+b\\ 5=-\frac{8}{3}+b\\ 5+\frac{8}{3}=b\\ b=7\frac{2}{3}[/tex]
Podstawiając współczynnik b otrzymujemy prostą zawierającą wysokość opuszczoną z wierzchołka C w postaci:
[tex]y=-\frac{4}{3} x+7\frac{2}{3}[/tex]
Spodek jest punktem przecięcia prostej AB i prostej zawierającej wysokość
[tex]\left \{ {{y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{4}}/*16 \atop {y=-\frac{4}{3} x+7\frac{2}{3}}/*9} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{16y=12x-12} \atop {9y=-12x+69}} \right.[/tex]
[tex]16y+9y=12x-12x-12+69\\25y=57\\y=2\frac{7}{25}[/tex]
[tex]16*2\frac{7}{25} =12x-12\\\frac{912}{25}+12 =12x\\12x=\frac{1212}{25} \\x=\frac{101}{25}=4\frac{1}{25}[/tex]
Odpowiedź:
Współrzędne spodka wysokości trójkąta opuszczonej z wierzchołka C to: [tex](4\frac{1}{25} ,2\frac{7}{25} )[/tex]
