Ponieważ nie ma znaczenia, które konkretne mm wyciągniemy, to nie ma znaczenia kolejność ich wyciągania.
Zatem możemy wykorzystać kombinacje do obliczeń:
Losujemy 2 sztuki ze 111, czyli:
[tex]\overline{\overline\Omega}=C^2_{111}=\left( ^{111}_\ 2}\right)=\dfrac{111!}{2!\cdot109!} = \dfrac{109!\cdot110\cdot111}{2\cdot109!}= \dfrac{55\cdot111}{1}=6105[/tex]
Ilość możliwości wylosowania dwóch mm z konkretnego koloru również liczymy z kombinacji:
Np.: dwie pomarańczowe to: [tex]C^2_{4}[/tex], dwie zielone: [tex]C^2_{9}[/tex], dwie różowe: [tex]C^2_{10}[/tex], itd
Ootrzymanie każdego koloru jest jednakowo prawdopodobne, więc ilości możliwości dla każdego koloru musimy dodać:
[tex]\overline{\overline A}=C^2_{4}+C^2_{9}+C^2_{10}+C^2_{13}+C^2_{16}+C^2_{18}+ C^2_{20}+C^2_{21}=\\\\=\left( ^{4}_ 2}\right)+\left( ^{9}_ 2}\right)+ \left( ^{10}_\, 2}\right)+\left( ^{13}_\, 2}\right)+\left( ^{16}_\, 2}\right)+\left( ^{18}_\, 2}\right)+ \left( ^{20}_\, 2}\right)+\left( ^{21}_\, 2}\right)=\\\\=\frac{4!}{2!2!}+\frac{9!}{2!7!}+ \frac{10!}{2!8!}+\frac{13!}{2!11!}+\frac{16!}{2!14!}+\frac{18!}{2!16!}+\frac{20!}{2!18!}+\frac{21!}{2!19!}=\\\\[/tex]
[tex]=\frac{2!\cdot3\cdot4}{2\cdot2!}+\frac{7!\cdot8\cdot9}{2\cdot7!}+ \frac{8!\cdot9\cdot10}{2\cdot8!}+\frac{11!\cdot12\cdot13}{2\cdot11!}+\frac{14!\cdot15\cdot16}{2\cdot14!}+\frac{16!\cdot17\cdot18}{2\cdot16!}+\frac{18!\cdot19\cdot20}{2\cdot18!}+\frac{19!\cdot20\cdot21}{2\cdot19!}=[/tex]
[tex]=\frac{3\cdot4}{2}+\frac{8\cdot9}{2}+ \frac{9\cdot10}{2}+\frac{12\cdot13}{2}+ \frac{15\cdot16}{2}+\frac{17\cdot18}{2}+\frac{19\cdot20}{2}+\frac{20\cdot21}{2}=\\\\=6+36+45+78+120+153+190+210=838[/tex]
Zatem prawdopodobieństwo wylosowania dwóch mm w tym samym kolorze wynosi:
[tex]P(A)=\dfrac{838}{6105}[/tex]
