Odpowiedź:
W celu wykonania zadania użyjemy metody wyznaczników :)
[tex]\left \{ {mx+y=-5} \atop{x+my =5}} \right.[/tex]
[tex]W = \left[\begin{array}{ccc}m&1\\1&m\\\end{array}\right] = m^{2} -1\\Wx = \left[\begin{array}{ccc}-5&1\\5&m\\\end{array}\right] = -5m-5\\Wy =\left[\begin{array}{ccc}m&-5\\1&5\\\end{array}\right] = 5m +5[/tex]
Wiemy, że:
[tex]x=\frac{Wx}{W} < = > \frac{-5m-5}{m^{2} -1} \\y=\frac{Wy}{W} < = > \frac{5m+5}{mx^{2} -1}[/tex]
I
Zapisujemy teraz nasz pierwszy warunek, w którym to nasz układ będzie oznaczony, czyli będzie miał określoną ilość rozwiązań.
[tex]W\neq 0\\m^{2} -1\neq 0\\m^{2} \neq 1\\m\neq |1| = > m\neq 1[/tex] ∨ [tex]m\neq -1[/tex]
[tex]x=\frac{-5m-5}{m^{2} -1} = \frac{-5(m+1)}{(m-1)(m+1) }= \frac{-5}{m-1} \\ y=\frac{5m+5}{m^{2} -1} = \frac{5(m+1)}{(m-1)(m+1)} = \frac{5}{m-1}[/tex]
Dzięki temu wiemy, że dla każdego m э R \ { -1 ; 1 } układ przyjmuje formę oznaczoną.
II
Nieskończenie wiele rozwiązań
W=0 ∧ Wx=0 ∧ Wy=0
[tex]m^{2} -1 = 0 \\m=|1|[/tex] ∧ [tex]-5m-5=0\\m=-1[/tex] ∧ [tex]5m+5=0\\m=-1[/tex]
m = -1
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy m = -1.
III
Układ sprzeczny
[tex]W=0\\[/tex] ∧ [tex](Wx \neq 0[/tex] ∨ [tex]Wy \neq 0)[/tex]
[tex]m^{2} -1 = 0 \\m=|1|[/tex]∧ ( [tex]-5m-5=0\\m\neq -1[/tex] ∨ [tex]5m+5=0\\m\neq -1[/tex])
m = 1
Układ jest sprzeczny, gdy m = 1.
