[tex]Zad 1. \\a) \\|AB|=\sqrt{(1+3)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{4^2+(-6)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\|BC|=\sqrt{(5-1)^2+(3+5)^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt5\\|AC|=\sqrt{(5+3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}[/tex]
[tex]b)\\\text{Wspolrzedna kierunkowe boku }|AB|\\\left \{ {{1=-3a+b} \atop {-5=a+b }} \right. \\\left \{ {{1=-3a+b} \atop {5=-a-b}} \right. \\1+5=-3a-a\\6=-4a /:(-4)\\-\frac64=a\\a=-\frac32[/tex]
[tex]\text{Wspolrzedna kierunkowa boku }|BC|\\\left \{ {{-5=a+b} \atop {3=5a+b}} \right. \\\left \{ {{5=-a-b} \atop {3=5a+b}} \right. \\5+3=-a+5a\\8=4a /:4\\a=2[/tex]
[tex]\text{Wspolrzedna kierunkowa boku }|AC|\\\left \{ {{1=-3a+b} \atop {3=5a+b}} \right. \\\left \{ {{-1=3a-b} \atop {3=5a+b}} \right.\\ -1+3=3a+5a\\2=8a /:8\\\frac28=a\\a=\frac14[/tex]
[tex]\text{Proste sa prostopadle wtedy, kiedy iloczyn ich wspolczynnikow kierunkowych jest rowny -1}\\[/tex]
[tex]a_{AB}*a_{AC}=-\frac32*\frac14=-\frac38\neq-1\\a_{AC}*a_{BC}=\frac14*2=\frac12 \neq -1\\a_{AB}*a_{BC}=-\frac32*2=-3 \neq -1\\\text{Trojkat nie jest prostokatny}[/tex]
[tex]c)\\S_{AB}=(\frac{-3+1}2; \frac{1-5}2)\\S_{AB}=(\frac{-2}2; \frac{-4}2)\\S_{AB}=(-1; -2)\\\\S_{AC}=(\frac{-3+5}2; \frac{1+3}2)\\S_{AC}=(\frac{2}2; \frac42)\\S_{AC}=(1; 2)\\\\S_{BC}=(\frac{1+5}2; \frac{-5+3}2)\\S_{BC}=(\frac62; \frac{-2}2)\\S_{BC}=(3; -1)[/tex]
[tex]Zad. 2\\\text{Srodkowa to odcinek laczacy wierzcholek trojkata ze srodkiem przeciwleglego boku }\\[/tex]
[tex]\text{Rowanie srodkowej } |AE| \text{ (punkt E to srodek odcinka BC)}[/tex]
[tex]\left \{ {{1=-3a+b} \atop {-1=3a+b}} \right. \\1-1=b+b\\0=b\\1=-3a+0\\1=-3a /:(-3)\\-\frac13=a\\y=-\frac13x[/tex]
[tex]\text{Rownanie symetralnej odcinka BC}[/tex]
[tex]a_{BC}=2\\a*a_{BC}=-1\\a*2=-1 /:2\\a=-\frac12[/tex]
[tex]S_{BC}=(3; -2)[/tex]
[tex]-2=-\frac12*3+b\\-2=-\frac32+b /+\frac32\\-\frac42+\frac32=b\\-\frac12=b\\\\y=-\frac12x-\frac12\\y=\frac{-x-1}2\\y=\frac{-(x+1)}2\\y=-\frac{x+1}2[/tex]
