Mamy funkcję kwadratową w postaci ogólnej
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex],
której najmniejsza wartość wynosi -4, a zbiorem rozwiązań nierówności
f(x) < 0 jest przedział (-2, 6).
Mamy wyznaczyć współczynniki a, b i c.
Z danych z zadania możemy wnioskować:
Jeżeli istnieje najmniejsza wartość funkcji kwadratowej, to ramiona paraboli, która jest jej wykresem, musi mieć skierowane ramiona w górę. W związku z tym a > 0 oraz druga współrzędna wierzchołka wynosi -4 (q).
Jeżeli zbiorem rozwiązań nierówności f(x) < 0 jest zbiór (-2, 6), to -2 i 6 są miejscami zerowymi tej funkcji.
Jeżeli mamy miejsca zerowe, to ich średnia arytmetyczna wyznacza nam pierwszą współrzędną wierzchołka (p).
Obliczamy wartość p:
[tex]p=\dfrac{-2+6}{2}=2[/tex]
Otrzymujemy współrzędne wierzchołka:
[tex]\boxed{W(2,\ -4)}[/tex]
Możemy przedstawić wzór funkcji w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej.
Postać iloczynowa:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
[tex]x_1,\ x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli
Zatem mamy:
[tex]f(x)=a(x-2)^2-4\\\\f(x)=a(x-(-2))(x-6)=a(x+2)(x-6)[/tex]
Stąd równość:
[tex]a(x-2)^2-4=a(x+2)(x-6)[/tex]
Z lewej strony korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a(x^2-4x+4)-4=ax^2-4ax-12a\\\\ax^2-4ax+4a-4=ax^2-4ax-12a\Rightarrow4a-4=-12a\\\\4a+12a=4\\\\16a=4\qquad|:16\\\\a=\dfrac{4}{16}\\\\\huge\boxed{a=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Przyrównując lewą stronę równania do postaci ogólnej, mamy:
[tex]ax^2+bx+c=ax^2-4ax+4a-4[/tex]
stąd mamy równania:
[tex]b=-4a\\c=4a-4[/tex]
podstawiamy wartość a:
[tex]b=-4\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\huge\boxed{b=-1}\\\\c=4\cdot\dfrac{1}{4}-4\\\\\huge\boxed{c=-3}[/tex]
