Mamy funkcję kwadratową w postaci ogólnej
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex],
której największa wartość wynosi 8, a zbiorem rozwiązań nierówności
f(x) > 0 jest przedział (0, 8).
Mamy wyznaczyć współczynniki a, b i c.
Z danych z zadania możemy wnioskować:
Jeżeli istnieje największa wartość funkcji kwadratowej, to ramiona paraboli, która jest jej wykresem, musi mieć skierowane ramiona w dół. W związku z tym a < 0 oraz druga współrzędna wierzchołka wynosi 8 (q).
Jeżeli zbiorem rozwiązań nierówności f(x) > 0 jest zbiór (0, 8), to 0 i 8 są miejscami zerowymi tej funkcji.
Jeżeli mamy miejsca zerowe, to ich średnia arytmetyczna wyznacza nam pierwszą współrzędną wierzchołka (p).
Obliczamy wartość p:
[tex]p=\dfrac{0+8}{2}=4[/tex]
Otrzymujemy współrzędne wierzchołka:
[tex]\boxed{W(4,\ 8)}[/tex]
Możemy przedstawić wzór funkcji w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej.
Postać iloczynowa:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
[tex]x_1,\ x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli
Zatem mamy:
[tex]f(x)=a(x-4)^2+8\\\\f(x)=a(x-0)(x-8)[/tex]
Stąd równość:
[tex]a(x-4)^2+8=ax(x-8)[/tex]
Z lewej strony korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a(x^2-8x+16)+8=ax^2-8ax\\\\ax^2-8ax+16a+8=ax^2-8ax\Rightarrow16a+8=0\qquad|-8\\\\16a=-8\qquad|:16\\\\a=-\dfrac{8}{16}\\\\\huge\boxed{a=-\dfrac{1}{2}}[/tex]
Przyrównując lewą stronę równania do postaci ogólnej, mamy:
[tex]ax^2+bx+c=ax^2-8ax+16a+8[/tex]
stąd mamy równania:
[tex]b=-8a\\c=16a+8[/tex]
podstawiamy wartość a:
[tex]b=-8\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\\huge\boxed{b=4}\\\\c=16\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+8\\\\\huge\boxed{c=0}[/tex]
