Odpowiedź:
zad 1
f(x) = 3x² - 5x + 2
a)
3x² - 5x + 2 = 0
a = 3 , b = - 5 , c = 2
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( 5 - 1)/6 = 4/6 = 2/3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (5 + 1)/6 = 6/6 = 1
b)
W = (p , q) = ( 5/6 , - 1/12
p= - b/2a = 5/6
q = - Δ/4a = - 1/12
c)
y₀ - punkt przecięcia z osią OY = c = 2
Równanie osi symetrii jest równe współrzędnej p wierzchołka
x = 5/6
d)
Wykres w załączniku
e)
f(x) > 0 dla x ∈ (- ∞ , 2/3 ) ∪ ( 1 , + ∞ )
f(x) < 0 dla x ∈ (2/3 , 1 )
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) = 3(x - 2/3)(x - 1)
f(x) = a(x - p)² + q = 3(x - 5/6)² - 1/12
zad 2
a)
(x + 5)² ≥ (2x + 10)²
x² + 10x + 25 ≥ 4x² + 40x + 100
x² - 4x² + 10x - 40x + 25 - 100 ≥ 0
- 3x² - 30x - 75 ≥ 0 |: 3
- x² - 10x - 25 ≥ 0
a = - 1 , b = - 10 , c = - 25
Δ = b² - 4ac = (- 10)² - 4 * (- 1) * (- 25) = 100 - 100 = 0
x₀ - miejsce zerowe = - b/2a = 10/(- 2) = - 10/2 = - 5
x = - 5
b)
x( 1 - 3x) < 0
x > 0 ∧ 1 - 3x < 0 ∨ x < 0 ∧ 1 - 3x > 0
x > 0 ∧ - 3x < - 1 ∨ x < 0 ∧ - 3x > - 1
x > 0 ∧ 3x > 1 ∨ x < 0 ∧ 3x < 1
x > 0 ∧ x > 1/3 ∨ x < 0 ∧ x < 1/3
x < 0 ∨ x > 1/3
x ∈ ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 1/3 , + ∞ )
v - znaczy "lub"
∧-znaczy "i"
c)
x⁴ + 5x² - 6 = 0
za x² wstawiam z dla z ≥ 0
z²+ 5z - 6 = 0
a = 1 , b = 5 , c = - 6
Δ = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * ( - 6 ) = 25 + 24 = 49
√Δ = √49 = 7
z₁ = ( - b - √Δ)/2a = (-5 - 7)/2 = - 12/2= - 6 odrzucamy ponieważ z nie może być liczbą ujemną
z = (- b + √Δ)/2a = (- 5 + 7)/2 = 2/2 = 1
x² = 1
x² - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x - 1 = 0 ∨ x + 1 = 0
x = 1 ∨ x = - 1
zad 3
f(x) =2x² + bx + c ; W = ( 4 , 0 )
p = 4 , q = 0
f(x) = a(x - p)² + q = 2(x - 4)² + 0 = 2(x - 4)² = 2(x² - 8x + 16) =
= 2x²- 16x + 32
b = - 16 , c = 32
zad 4
f(x) = x² - 11x ; przedział = < - 6 , 6 >
a = 1 , b = - 11
Obliczamy p wierzchołka
p =- b/2a = 11/2 = 5/2 = 5,5
Ponieważ wierzchołek należy do przedziału i a > 0 (ramiona paraboli skierowane do góry) , więc wartość najmniejszą funkcja osiąga w wierzchołku
f(5,5) = 5,5² - 11 * 5,5 = 30,25 - 60,5 = - 30,25 wartość najmniejsza
f(- 6) = (- 6)² - 11 * (- 6)= 36 + 66 = 102 wartość największa
f(6) = 6² - 11 * 6 = 36 - 66 = - 30
