Założenia:
|∡ACB| = 90°, |BC| = 2|AC|, |∡ADC| = |∡CDB| = 90°
Teza:
y = 4x
Dowód:
Dla większej przejrzystości zapisu przyjmijmy (rysunek):
|AC| = a, |BC| = 2a, |CD| = h, |AD| = x, |BD| = y, |∡BAC| = α
Wtedy z trójkąta ABC:
|∡ABC| = 180° - 90° - α = 90° - α
Z trójkąta ACD:
|∡CAD| = |∡BAC| = α
|∡ACD| = 180° - 90° - α = 90° - α
Z trójkąta BCD:
|∡DBC| = |∡ABC| = 90° - α
|∡BCD| = 180° - 90° - (90° - α) = 90° - 90° + α = α
Stąd:
|∡ADC|=|∡CDB| ∧ |∡ADC|=|∡CDB| ∧ |∡ADC|=|∡CDB| ⇒ ΔACD~ΔBCD
Oraz:
[tex]\bold{\triangle ACD\sim \triangle BCD\quad \implies\quad \dfrac xh=\dfrac hy=\dfrac a{2a}}[/tex]
[tex]\dfrac a{2a}=\dfrac12[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{\dfrac xh=\dfrac12\qquad\implies\quad h=2x}\\\\\\\bold{\dfrac hy=\dfrac12}\\\\ \bold{y=2h}\\\\ \bold{y=2\cdot2x} \\\\\bold{y=4x}[/tex]
co należało wykazać.
