Odpowiedź:
Wykorzystajmy następujący wzór na pole trójkata
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin{\alpha}[/tex]
Gdzie:
a,b - to dowolne dwa boki trójkąta,
[tex]\alpha[/tex] - to kąt pomiędzy tymi bokami
W naszym zadaniu mamy więc:
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin{\alpha}\\\\3=\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\cdot\sin{\alpha}\\\\3=15\cdot\sin{\alpha}\\\\\sin{\alpha}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[/tex]
Mamy już sinus, teraz obliczymy cosinus. Jak to zrobimy?
Skorzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:
[tex]\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\\\\left(\frac{1}{5}\right)^2+\cos^2{\alpha}=1\\\\\frac{1}{25}+\cos^2{\alpha}=1\\\\\cos^2{\alpha}=1-\frac{1}{25}\\\\\cos^2{\alpha}=\frac{24}{25}\\\\\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{24}{25}}\qquad\vee\qquad\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{24}{25}}\\\\\text{Odrzucamy}\hspace{2cm}\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{6\cdot4}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]
Dlaczego odrzucamy ujemny wynik?
Ponieważ cosinus jest dodatni dla kątów między 0 oraz 90 stopni, a właśnie taki jest nasz kąt w zadaniu (ponieważ napisali w treści, że jest to trójkąt ostrokatny)
Zatem odpowiedź to:
[tex]\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
