Zamiast sinusów i cosinusów z [tex]x[/tex] będę pisał [tex]s[/tex] oraz [tex]c[/tex]. Więc na początek powbywamy się podwójnych kątów (aby było łatwiej i aby notacja miała sens). Za pomocą znanych toższamości dostajemy:
[tex]sc+1=c^2(s+c)[/tex]
zatem
[tex]c^3+c^2s-sc-1=0[/tex]
a to się faktoryzuje
[tex]c^3-1+c^2s-sc=(c-1)(c^2+c+1)+sc(c-1)=(c-1)(c^2+c(s+1)+1)=0[/tex]
więc [tex]c=1[/tex] (na tym poprzestanę bo wiadomo co dalej) lub
[tex]c^2+c(s+1)+1=0[/tex]
Wystarczy teraz zauważyć, że to równanie nie ma rozwiązań bo
[tex]c^2+1 > -cs-s[/tex]
to jest oczywiste wewnątrz [tex]1[/tex]. Wewnątrz [tex]2,3,4[/tex] sytuacja jest gorsza ale podstawienie [tex]t=\tan x/2[/tex] sprowadza tą nierówność do nierówności wielominowej [tex](t-1)^4+(t-1)^3+4 > 0[/tex] dla dowolnego t. Można jeszcze raz zrobić podtawienie [tex]t-1=z[/tex] i badać funkcję [tex]f(z)=z^4+2z^2+4[/tex] która ma jedno minimum w [tex]-3/2[/tex] i osiąga tam wartość dodatnią. Zatem [tex](t-1)^4+(t-1)^3+4 > 0[/tex] jest prawdziwa czyli [tex]c^2+1 > -cs-s[/tex] też.
