Witaj :)
Do rozwiązania obu zadań będziemy potrzebować następujące wzory związane z trójkątem równobocznym:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]R=\frac{2}{3}h[/tex]
[tex]r=\frac{1}{3}h[/tex]
Naszym zadaniem jest obliczenie wysokość, długości boku, promienia okręgu opisanego, oraz wpisanego w trójkącie równobocznym. Z treści zadania wiemy, że wysokość jest o 4cm krótsza od bok tego trójkąta. Możemy zatem zapisać to za pomocą wyrażenia:
[tex]h=a-4[/tex]
Pierwsze co uczynimy, to obliczymy długość boku tego trójkąta podstawiając w miejsce "h" wzór na wysokość:
[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}=a-4\ / \cdot 2\\ \\a\sqrt{3}=2(a-4)\\\\a\sqrt{3}=2a-8\ / \ -2a\\\\a\sqrt{3}-2a=-8\\\\a(\sqrt{3}-2)=-8\ /:(\sqrt{3}-2)\\\\a=\frac{-8}{\sqrt{3}-2}\cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} =\frac{-8(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3})^2-2^2}=\frac{-8\sqrt{3}-16}{3-4} =-(-8\sqrt{3}-16)=8\sqrt{3}+16\ [cm][/tex]
Znając długość boku obliczymy teraz wysokość:
[tex]h=\frac{(8\sqrt{3}+16)\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+16\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{9}+16\sqrt{3}}{2}=\frac{8\cdot 3+16\sqrt{3}}{2}=\\=\frac{24+16\sqrt{3}}{2}=12+8\sqrt{3}\ [cm][/tex]
Teraz liczę długość promienia okręgu opisanego:
[tex]R=\frac{2}{3}(12+8\sqrt{3})= \frac{2(12+8\sqrt{3})}{3}=\frac{24+16\sqrt{3}}{3}\ [cm][/tex]
Ostatnim etapem będzie obliczenie promienia okręgu wpisanego:
[tex]r=\frac{1}{3}(12+8\sqrt{3})=\frac{12+8\sqrt{3}}{3}\ [cm][/tex]
Odpowiedź.:
[tex]h=12+8\sqrt{3}\ [cm]\\\\a=8\sqrt{3}+16\ [cm]\\\\R=\frac{24+16\sqrt{3}}{3} \ [cm]\\\\r=\frac{12+8\sqrt{3}}{3}\ [cm][/tex]
Zadanie jest analogiczne do poprzedniego. Musimy tutaj obliczyć wysokość, promień okręgu opisanego, promień okręgu wpisanego, oraz długość boku trójkąta równobocznego. Z treści wiemy, że wysokość tego trójkąta jest o 8cm dłuższa od promienia koła opisanego na nim, więc możemy zapisać:
[tex]h=R+8[/tex]
Zaczniemy od obliczenia wysokości tego trójkąta:
[tex]h=\frac{2}{3}h+8\ /-\frac{2}{3}h\\ \\ h-\frac{2}{3}h=8\\ \\\frac{1}{3}h=8\ /\cdot 3 \\\\h=24\ [cm][/tex]
Teraz obliczymy promień koła opisanego:
[tex]R=\frac{2}{3}\cdot 24 =\frac{48}{3}=16\ [cm][/tex]
Kolejno promień koła wpisanego:
[tex]r=\frac{1}{3}\cdot 24=\frac{24}{3}=8\ [cm][/tex]
Na końcu liczę długość boku:
[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}=24\ / \cdot 2\\ \\a\sqrt{3}=48\ /\ : \sqrt{3}\\\\a=\frac{48}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{48\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}=\frac{48\sqrt{3}}{3}=16\sqrt{3}\ [cm][/tex]
Odpowiedź.:
[tex]h=24\ [cm]\\\\R=16\ [cm]\\\\r=8\ [cm]\\\\a= 16\sqrt{3}\ [cm][/tex]
