Odpowiedź:
Krok 1
Korzystamy ze wzoru na tangens oraz z wartości tangensa w następujący sposób:
[tex]\tan{\alpha }=\frac{3}{4}\\\\\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}[/tex]
Z powyższych równań otrzymujemy:
[tex]\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{3}{4}\\\\\sin{\alpha}=\frac{3}{4}\cos{\alpha}[/tex]
Otrzymaliśmy związek między sinusem i cosinusem.
Teraz wykorzystamy go używając wzoru na jedynkę trygonometryczną, czyli:
[tex]\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1[/tex]
Podstawiamy i mamy:
[tex]\left(\frac{3}{4}\cos{\alpha}\right)^2+\cos^2{\alpha}=1\\\\\frac{9}{16}\cos^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\\\\frac{25}{16}\cos^2{\alpha}=1\\\\25\cos^2{\alpha}=16\\\\\cos^2{\alpha}=\frac{16}{25}\\\\\cos{\alpha}=\frac{4}{5}\quad\vee\quad\cos{\alpha}=-\frac{4}{5}\\[/tex]
Otrzymaliśmy 2 odpowiedzi, więc do każdego cosinusa obliczmy sinusa
[tex]\text{Dla} \quad\cos{\alpha}=\frac{4}{5}\quad\text{mamy}\\\\\sin{\alpha}=\frac{3}{4}\cos{\alpha}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}\\\\\\\text{Dla} \quad\cos{\alpha}=-\frac{4}{5}\quad\text{mamy}\\\\\sin{\alpha}=\frac{3}{4}\cos{\alpha}=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}[/tex]
Nasze zadanie ma więc dwie odpowiedzi:
[tex]1) \sin{\alpha}=\frac{3}{5}\quad\text{oraz}\quad\cos{\alpha}=\frac{4}{5}\\\\2) \sin{\alpha}=-\frac{3}{5}\quad\text{oraz}\quad\cos{\alpha}=-\frac{4}{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
