Funkcja cosinus, pole powierzchni trójkąta.
- Wiemy, że:
[tex]\cos \alpha = -\frac{1}{2}[/tex] - Ze wzorów redukcyjnych mamy:
[tex]\cos (90^\circ + \beta) = - \sin \beta[/tex]
czyli w naszym przypadku:
[tex]- \sin (\alpha- 90^\circ) = -\frac{1}{2}\\\sin (\alpha- 90^\circ) = \frac{1}{2}[/tex] - Wiemy, więc - z trójkąta (30,60,90) - , że:
[tex]\alpha - 90^\circ = 30^\circ[/tex]
czyli
[tex]\alpha = 120^\circ[/tex]
Możemy jednak chcieć skorzystać z pozostałych danych i rozwiązać cały trójkąt:
- jest on równoramienny, więc pozostałe dwa kąty mają miarę:
[tex]\gamma = (180^\circ - 120^\circ ) /2 = 30^\circ[/tex] - zaś, gdy oznaczymy boki jako: [tex]a,a,b[/tex] mamy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P_\triangle = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin |\angle (a,a)| = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin |\angle (a,b)|[/tex]
co zgodnie z treścią daje:
[tex]9 = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot a\cdot b \cdot \sin 30^\circ\\18 =a^2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = a\cdot b \cdot \frac{1}{2}\\a^2 = 12\sqrt3 \quad \quad ab = 36\\a= 2\sqrt3\sqrt[4]3 \quad \quad b= \frac{18}{\sqrt3\sqrt[4]3}[/tex]
