Odpowiedź:
a = -16
pozostałe pierwiastki, to x = -1 i x = 1
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, to w(a) = 0.
Podstawiamy x = 5 do wielomianu w(x) = x³ - 5x² + ax + 5 i przyrównujemy do 0:
5³ - 5 · 5² + a · 5 + 5 = 0
125 - 5 · 25 + 5a + 5 = 0
130 - 125 + 5a = 0
5 + 5a = 0 |-5
5a = -5 |:5
a = -1
Wielomian przyjmuje postać:
w(x) = x³ - 5x² - x + 5
Wyznaczamy pozostałe pierwiastki.
Możemy to wykonać za pomocą dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x - 5) - na podstawie twierdzenia Bezouta. Albo rozłożyć wielomian na czynniki.
Wybieramy drugą metodę:
w(x) = x³ - 5x² - x + 5 = x²(x - 5) - 1(x - 5) = (x - 5)(x² - 1)
= (x - 5)(x² - 1²) = (x - 5)(x - 1)(x + 1)
Skorzystałem z metody grupowania oraz ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)(a + b) = a² - b²
(x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0 ⇔ x - 5 = 0 v x - 1 = 0 v x + 1 = 0
x = 5 v x = 1 v x = -1
