Odpowiedź:
zad 1
We wszystkich rozwiązaniach n ≥ 1
a)
an = n²(n - 3)
n²(n - 3) = 0
n² = 0 ∨ n - 3 = 0
Ponieważ n ≥ 1 , więc :
n - 3 =0
n = 3
b)
an = (n² - 4n + 3)/(n + 1)
Ponieważ n + 1 > 0 dla n ≥ 1 , więc :
n² - 4n + 3 = 0
a= 1 , b = - 4 , c = 3
Δ = b² - 4ac = (- 4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
√Δ = √4 = 2
n₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 4 - 2)/2 = 2/2 = 1
n₂ = (- b + √Δ)/2a = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
c)
an = n³ - 4n² + 4n
n³ - 4n² + 4n = 0
n(n² - 4n + 4) = 0
Ponieważ n ≠ 0 , więc :
n² - 4n + 4 = 0
a = 1 , b = - 4 , c = 4
Δ = b² - 4ac = (- 4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0
n = - b/2a = 4/2 = 2
d)
an = (n³ - 3n² + 4n)/(2n² + 4)
(n³ - 3n² + 4n)/(2n² + 4) = 0
Ponieważ (2n² + 4) ≠ 0 , więc :
n³ - 3n² + 4n = 0
n(n² - 3n + 4) = 0
Ponieważ n ≠ 0 , więc :
n² - 3n + 4 = 0
a= 1 , b = - 3 , c = 4
Δ = b² - 4ac = (- 3)² - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = - 7
Δ < 0 , więc ciąg nie ma wyrazów równych 0
e)
an = n⁴ - 13n² + 36
za n² wstawiam t
an = t² - 13t + 36
t² - 13t + 36 = 0
a = 1 , b = - 13 , c = 36
Δ = b² - 4ac = (- 13)² - 4 * 1 + 36 = 169 - 144 = 25
√Δ = √25 = 5
√Δ = √4 = 2
t₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 13 - 5)/2= 8/2 = 4
t₂ = (- b + √Δ)/2a = (13+ 5)/2= 18/2 = 9
t₁ = n₁
n₁² = 4
n₁ = √4 = 2
n₂² = 9
n₂ = √9 = 3
f)
an = [(n³ - 64)(64 - n²)]/(3n - 1)
[(n³ - 64)(64 - n²)]/(3n - 1) =0
Ponieważ 3n - 1 ≠ 0 , więc :
(n³ - 64)(64 - n²) =0
n³ - 64 = 0 ∨ 64 - n² = 0
n³ = 64 ∨ - n² = - 64
n = ∛64 ∨ n = √64
n = 4 ∨ n = 8
zad 2
a)
Dla wszystkich zadań n ≥ 1
an = n² -5n - 10
n² - 5n - 10 < 0
Obliczamy miejsca zerowe
n² -5n - 10 = 0
a = 1 , b = - 5 , c = - 10
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4 * 1 * (- 10) = 25 + 40 = 65
√Δ = √65
n₁ = (- b - √Δ)/2a = (5 - √65)/2 ≈ - 1.53
n₂ = (-b + √Δ)/2a = (5 + √65)/2 ≈ 6,53
n ∈ (- 1,53 ; 6,53)
Ponieważ n ≥ 1 i n ∈ N⁺ ,więc wyrazami ujemnymi są
n = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
b)
an = n² - 11n + 10
n² - 11n + 10 < 0
Obliczamy miejsca zerowe
n² - 11n + 10 = 0
a = 1 , b = - 11 , c = 10
Δ = b² - 4ac = (- 11)² - 4 * 1 * 10 = 121 - 40 = 81
√Δ = √81 = 9
n₁ = ( - b - √Δ)/2a = (11 - 9)/2 = 2/2 = 1
n₂ = ( -b + √Δ)/2a = (11 + 9)/2 = 20/2 = 10
n ∈ ( 1 , 10 )
Wyrazami mniejszymi od 0 są :
n= { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 }
c)
an = 3n² - 10n + 8
3n² - 10n + 8 < 0
Obliczamy miejsca zerowe
3n² - 10n + 8 = 0
a = 3 , b = - 10 , c = 8
Δ = b² - 4ac = (- 10)² - 4 * 3 * 8 = 100 - 96 = 4
√Δ = √4 = 2
n₁ = ( - b - √Δ)/2a = (10 - 2)/6 = 8/6= 1 2/6 = 1 1/3
n₂ = ( - b + √Δ)/2a = (10 + 2)/6 = 12/6 = 2
n ∈ ( 1 1/3 , 2 )
Ponieważ n ≥ 1 i n ∈ N⁺ ,więc ciąg nie ma wyrazów ujemnych
