Przydatna własności transformaty:
[tex]F[s]=\int_0^\infty{f'(t)e^{-st}\, dt}=-f(0)+s\int_0^\infty{f(t)e^{-st}\, dt}[/tex]
co wynika z całkowania przez części.
wprowadzę oznaczanie f(s) jako transformata x(t) oraz g(s) jako transformata y(t)
Stosując transformację Laplace'a do równań:
[tex]\left \{ {{s\cdot f(s)-0=-2f(s)+3g(s)+\frac{6}{s}} \atop {s\cdot g(s)-2=-3f(s)-2g(s)}} \right.[/tex]
teraz trzeba to rozwiązać ze względu na f i g
[tex]\left \{ {{(s+2)f-3g=\frac{6}{s}} \atop {3f+(s+2)g=2}} \right.\\\left \{ {g=\frac{s+2}{3}f-\frac{2}{s}} \atop {3f+\frac{(s+2)^2}{3}f-2\frac{s+2}{s}=2} \right.\\\left \{ {g=\frac{s+2}{3}f-\frac{2}{s}} \atop {(s^2+4s+13)f=12+\frac{12}{s}} \right.\\\left \{ {g=\frac{s+2}{3}f-\frac{2}{s}} \atop {{f=\frac{12}{s^2+4s+13}+\frac{12}{s(s^2+4s+13)}} \right.\\\left \{ {g=\frac{4(s+2)}{s^2+4s+13}+\frac{4(s+2)}{s(s^2+4s+13)}-\frac{2}{s}} \atop {{f=\frac{12}{s^2+4s+13}+\frac{12}{s(s^2+4s+13)}} \right.[/tex]
teraz należy rozłożyć te wyrażenie na czynniki, aby łatwiej było odwrócić transformatę:
[tex]\Delta=4^2-4\cdot13=-36\\s_{1,2}=\frac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i\\f=\frac{12(s+1)}{s(s+2-3i)(s+2+3i)}\\f=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2-3i}+\frac{C}{s+2+3i}\\A(s^2+4s+13)+Bs(s+2+3i)+Cs(s+2-3i)=12(s+1)\\13A=12\ \A=\frac{12}{13}\\\frac{12}{13}+B+C=0\\\frac{48}{13}+B(2+3i)+C(2-3i)=12[/tex]
[tex]A=\frac{12}{13}\\B=-\frac{6+22i}{13}\\C=-\frac{6-22i}{13}[/tex]
[tex]f=\frac{12}{13s}-\frac{6+22i}{13(s+2-3i)}-\frac{6-22i}{13(s+2+3i)}\\x(t)=\frac{12}{13}-\frac{6+22i}{13}e^{-(2+3i)t}-\frac{6-22i}{13}e^{-(2-3i)t}\\x(t)=\frac{12}{13}-\frac{6}{13}e^{-2t}\left(e^{-3it}+e^{3it}\right)+\frac{22i}{13}e^{-2t}\left(e^{3it}-e^{-3it}\right)\\x(t)=\frac{12}{13}-\frac{12}{13}e^{-2t}\cos{3t}+\frac{44}{13}e^{-2t}\sin{3t}\\x(t)=\frac{4}{13}[3-e^{-2t}(3\cos3t-11\sin{3t})][/tex]
Aby nie powtarzać tej zabawy z g(s) dla wyznaczenia y(t) posłużę się pierwszym z równań różniczkowych:
[tex]\frac{dx}{dt}=-2x+3y+6\\y=\frac{1}{3}\frac{dx}{dt}+\frac{2}{3}x-2\\\frac{dx}{dt}=\frac{4}{13}[2e^{-2t}(3\cos{3t}-11\sin{3t})-e^{-2t}(-9\sin{3t}-33\cos}3t)]=\\=4[e^{-2t}(3\cos{3t}-\sin{3t})]\\y(t)=\frac{4}{3}e^{-2t}[3\cos{3t}-\sin{3t}]+\frac{8}{13}[1-e^{-2t}(\cos{3t}-\frac{11}{3}\sin{3t})]-2\\y(t)=e^{-2t}(4-\frac{8}{13})\cos{3t}+e^{-2t}(\frac{88}{39}-\frac{4}{3})\sin{3t}-\frac{18}{13}\\y(t)=\frac{2}{13}[e^{-2t}(22\cos{3t}+6\sin{3t})-9][/tex]
Reasumując, rozwiązania to:
[tex]x(t)=\frac{4}{13}[3-e^{-2t}(3\cos{3t}-11\sin{3t})]\\y(t)=\frac{2}{13}[e^{-2t}(22\cos{3t}+6\sin{3t})-9][/tex]
pozdrawiam
