Rozwiązywanie nierówności kwadratowych.
b) W pierwszej kolejności wymnażamy [tex]-2x[/tex] i wyrażenie w nawiasie:
[tex]-2x\cdot 5-2x\cdot(-x)\leq 0[/tex]
[tex]-10x+2x^2\leq 0[/tex]
Przyrównujemy lewą stronę do zera, aby móc obliczyć deltę:
[tex]-10x+2x^2=0[/tex]
Współczynniki potrzebne do obliczenia delty są równe:
[tex]a=2,b=-10,c=0[/tex]
Mamy zatem:
[tex]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c=10^2-4\cdot 2\cdot 0 =10^2=100[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} =\sqrt{100} =10[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10-10}{2\cdot 2}=\frac{0}{4}=0[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10+10}{2\cdot 2}=\frac{20}{4}=5[/tex]
Współczynnik [tex]a[/tex] jest dodatni, zatem ramiona paraboli będą skierowane do góry. Szkicujemy wykres (funkcja [tex]f[/tex], zielony wykres poniżej). Odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli przedział, dla którego wykres znajduje się poniżej osi [tex]OX[/tex], ponieważ mamy słaba nierówność, to przedział będzie obustronnie domknięty:
[tex]x\in \langle 0,5\rangle[/tex]
d) W pierwszej kolejności przenosimy wszystko na lewą stronę, pamiętając, że przy przenoszeniu zmieniamy znak na przeciwny:
[tex]x^2+x-2 < 0[/tex]
Przyrównujemy lewą stronę do zera:
[tex]x^2+x-2=0[/tex]
Współczynniki potrzebne do obliczenia delty, są równe:
[tex]a=1,b=1,c=-2[/tex]
Mamy zatem:
[tex]\Delta = b^2-4\cdot a \cdot c=1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{9} =3[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1[/tex]
Współczynnik [tex]a[/tex] jest dodatni, zatem ramiona paraboli będą skierowane do góry. Szkicujemy wykres (funkcja [tex]g[/tex], czerwony wykres poniżej). Odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli przedział, dla którego wykres znajduje się poniżej osi [tex]OX[/tex], ponieważ mamy ostrą nierówność, to przedział będzie obustronnie otwarty:
[tex]x\in (-2,1)[/tex]
