Równanie prostej, symetria osiowa - geometria analityczna.
- Zaczynamy od równania prostej dla punktów [tex]P = (2, 1)[/tex] i [tex]Q = (6, 9)[/tex]:
[tex](y-1)(6-2)-(9-1)(x-2) = 0\\4y - 4 - 8x +16 =0\\y-2x+3 = 0\\y=2x-3[/tex] - Wtedy prosta prostopadła do prostej PQ przechodząca przez punkt A to prosta AB:
[tex]y=-\frac{1}{2}x +b\\7 = -\frac{1}{2} \cdot 2 +b \\8=b\\y=-\frac{1}{2} x+8[/tex] - Środek odcinka AB to z kolei punkt przecięcia prostych PQ i AB:
[tex]2x-3 = -\frac{1}{2}x+8\\\frac{5}{2}x = 11\\x = \frac{22}{5}[/tex]
wstawiając do dowolnego z równań mamy:
[tex]y = \frac{29}{5}[/tex] - Środek odcinka AB to jest z drugiej strony punkt o współrzędnych:
[tex]\left( \frac{2+x_B}{2}, \frac{7+y_B}{2} \right)[/tex]
mamy stąd:
[tex]\left( \frac{2+x_B}{2}, \frac{7+y_B}{2} \right) = \left(\frac{22}{5},\frac{29}{5}\right)\\(10+5x_B, 35+5y_B) = (44,58)\\5(x_B,y_B) = (34,23)\\(x_B,y_B) = (\frac{34}{5},\frac{23}{5}) \equiv B[/tex]
Istotne wzory, które pojawiły się w rozwiązaniu:
- równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:
[tex](y-y_A)(x_B-x_A) - (y_B-y_A)(x-x_A)=0[/tex] - prosta prostopadła do prostej o równaniu
[tex]y = ax+b[/tex]
to prosta
[tex]y=-\frac{1}{a}x+c[/tex] - środek odcinka to punkt o współrzędnych:
[tex]\left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right)[/tex]
