Odpowiedź:
[tex]$k \in \Big(\frac{15}{8},2 \Big)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{x}=2^{-x}[/tex]
Funkcja po przekształceniu:
[tex]$g(x)=|f(x+3)-2|=\Big|\Big(\frac{1}{2}\Big)^{x+3}-2\Big|[/tex]
Transformacja ta, przesuwa nam funkcję [tex]f[/tex] o [tex]3[/tex] jednostki w lewo i [tex]2[/tex] jednostki w dół (lub jak kto woli o translacja o wektor [tex][-3,-2][/tex]). Następnie nakłada moduł na taką funkcję, czyli mówiąc po ludzku, wszystkie wartości ujemne stają się dodatnie (to, co jest poniżej osi [tex]OX[/tex] odbijamy symetrycznie względem niej). W załączniku wykresy obu funkcji.
Teraz dalsza część zadania - mamy znaleźć takie wartości parametru [tex]k[/tex], że iloczyn rozwiązań równania [tex]g(x)=k[/tex] jest liczbą ujemną. Ktoś powie - co to za jakieś [tex]k[/tex]? Jest to dowolna liczba z zakresu liczb rzeczywistych. Łatwiej byłoby, gdyby to była jakaś konkretna liczba, czyż nie? Na przykład [tex]g(x)=5[/tex] albo [tex]g(x)=0[/tex] itp. Taki zapis bardziej do nas przemawia. Parametr [tex]k[/tex] to właśnie taka liczba, tylko dobieramy ją w określony sposób.
Mając wykres możemy w prosty sposób operować rozwiązaniami graficznymi. Aby znaleźć rozwiązanie graficzne równania, szkicujemy obie funkcje w jednym układzie współrzędnych i patrzymy, jakie są punkty ich przecięcia. W tym wypadku jedną z nich jest funkcja [tex]g[/tex], a drugą... właśnie ta liczba [tex]k[/tex]. Jak to? Tak to, z doświadczenia znamy np. funkcję [tex]y=5[/tex] lub [tex]y=0[/tex]. To funkcja stała (prosta równoległa do osi [tex]x[/tex]) i taka też będzie funkcja [tex]y=k[/tex] dla pewnego [tex]k[/tex]. W zależności jakie [tex]k[/tex] sobie dobierzemy, ta funkcja będzie wyżej lub niżej.
Wyobrażamy sobie zatem, że ta prosta przecina wykres funkcji [tex]g[/tex] w jakichś punktach. Jeżeli przetnie go w jednym punkcie, to mamy jedno rozwiązanie, jeżeli w dwóch, to mamy dwa rozwiązania itp. Teraz patrząc na zadanie, chcemy mieć dwa rozwiązania, a więc i dwa punkty przecięcia. To jest dla nas pierwsza ważna informacja - musimy dobrać [tex]k[/tex] tak, aby faktycznie tak było.
Wartość bezwzględna od razu ułatwia nam zadanie, gdyż funkcja [tex]g[/tex] nie przyjmuje wartości ujemnych (co zresztą widać na wykresie). W takim razie na pewno [tex]k > 0[/tex]. Jeżeli np. [tex]k=-5[/tex], to równanie byłoby sprzeczne (brak punktów przecięcia). Teraz musimy jeszcze ograniczyć to jakoś z góry. Widzimy, że asymptotą poziomą wykresu funkcji [tex]g[/tex] jest prosta [tex]y=2[/tex] i że jeżeli prosta będzie niżej, to dostaniemy dwa rozwiązania, a powyżej już tylko jedno rozwiązanie. To kolejna informacja - na pewno [tex]k < 2[/tex]. Zatem gdy [tex]0 < k < 2[/tex] to równanie ma dwa rozwiązania. Teraz patrzymy jeszcze na iloczyn tych rozwiązań. Skoro ma być ujemny, to musimy mieć różne znaki. Stąd prosta [tex]y=k[/tex] musi przecinać wykres raz w miejscu o ujemnej odciętej, a raz w miejscu o dodatniej odciętej. Będzie tak, gdy znajdzie się ona powyżej punktu przecięcia funkcji [tex]g[/tex] z osią [tex]OY[/tex] (patrz wykres). Znajdujemy rzędną tego punktu:
[tex]$g(0)=\Big|\Big(\frac{1}{2} \Big)^{0+3}-2\Big|=\Big|\frac{1}{8} -2\Big|=\Big|-\frac{15}{8} \Big|=\frac{15}{8}[/tex]
Zatem (uwzględniając poprzednie ograniczenia dotyczące [tex]k[/tex]) mamy odpowiedź do zadania:
[tex]$k \in \Big(\frac{15}{8},2 \Big)[/tex]
Powyższe wyjaśnienie wyglądać może na zawiłe, ale chciałem objaśnić cały tok rozumowania, po zrozumieniu robi się to bez takiego laboratu i o wiele szybciej.
