Graniastosłup prawidłowy czworokątny ⇒ w podstawie ma kwadrat oraz wszystkie jego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do krawędzi podstawy.
a - krawędź podstawy ( długość boku kwadrata )
a√2 - przekątna podstawy
h - wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
k - przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
Korzystam z zależności długości boków w trójkącie o kątach 90°, 60°, 30° ( załączony rysunek ).
k = 10 cm = 2 × 5 cm ∧ k = 2 × d ⇒ d = 5 cm
h = d ∧ d = 5 cm ⇒ h = 5 cm
a√2 = d√ 3 ∧ d = 5 cm ⇒ a√2 = 5√3 cm
[tex]a\sqrt{2} =5\sqrt{3} ~cm~~\mid \div \sqrt{2} \\\\a=\dfrac{5\sqrt{3} }{\sqrt{2} } \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } ~cm\\\\a=\dfrac{5\sqrt{6} }{2} ~cm[/tex]
Pc = 2×Pp + Pb
Pc - pole powierzchni całkowitej
Pp - pole podstawy ( pole kwadratu )
Pb - pole powierzchni bocznej ( suma pól prostokątów )
[tex]P_{p} =a^{2} ~~\land ~~a=\dfrac{5\sqrt{6} }{2} ~cm~~\Rightarrow ~~P_{p} =(\dfrac{5\sqrt{6} }{2} ~cm) ^{2} =\dfrac{25\cdot 6}{4} ~cm^{2} =31,25~cm^{2} \\\\P_{b} =4\cdot P_{prostokat} =4\cdot a\cdot h ~~\land ~~a=\dfrac{5\sqrt{6} }{2} ~cm~~\land ~~h=5~cm\\\\P_{b} =4\cdot \dfrac{5\sqrt{6} }{2} ~cm\cdot 5~cm=50\sqrt{6} ~cm^{2} \\\\P_{c} =2\cdot 31,25~cm^{2} +50\sqrt{6} ~cm^{2}\\\\P_{c} =62,5~cm^{2} +50\sqrt{6} ~cm^{2}[/tex]
Odp: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi: 62,5 cm² + 50√6 cm².
