Odpowiedź:
Zadanie 1.
Prawidłowa odpowiedź: Odpowiedź D.
Zadanie 2.
Prawidłowa odpowiedź: Odpowiedź A.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1.
W zadaniu należy odpowiedzieć na pytanie ile wynosi pole wycinka koła o promieniu 4 wyznaczonego przez kąt 54°.
Wypiszmy dane z zadania:
[tex]\alpha = 54^o[/tex]
r = 4
Skorzystamy z wzoru:
[tex]P = \cfrac{\alpha}{360^o} \cdot \pi r^2[/tex]
Podstawiamy dane:
[tex]P = \cfrac{54^o}{360^o} \cdot \pi \cdot 4^2[/tex]
[tex]P = 0,15 \cdot \pi \cdot 16[/tex]
[tex]P = 2,4 \pi[/tex]
Prawidłowa odpowiedź: Odpowiedź D.
Zadanie 2.
Mamy w zadaniu trójkąt równoramienny o miarach [tex]\alpha, \alpha, 4\alpha[/tex]. Ramię ma długość 2. Należy określić promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Chcąc obliczyć promień skorzystamy z wzoru:
[tex]r = \cfrac{2P}{x + y+ z}[/tex]
gdzie:
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt
P - pole trójkąta
x, y, z - długości boków trójkąta (x - podstawa, y, z - ramiona trójkąta)
1. Rozpoczynamy ciąg obliczeniowy od obliczenia kątów w tym trójkącie (załącznik - rysunek po prawej stronie). Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi [tex]180^o[/tex], możemy więc zapisać poniższe równanie:
[tex]\alpha + \alpha + 4\alpha = 180^o[/tex]
[tex]6\alpha = 180^o|:6[/tex]
[tex]\alpha = 30^o[/tex]
[tex]2\alpha = 2 \cdot 30^o = 60^o[/tex]
2. Zgodnie z rysunkiem pomocniczym możemy zapisać, że:
[tex]2a = 2[/tex]
więc:
[tex]a = 1[/tex]
czyli:
[tex]a\sqrt{3} = \sqrt{3}[/tex]
[tex]a = 1[/tex]
3. Obliczamy długości boków trójkąta po lewej stronie:
[tex]y = z = 2[/tex]
[tex]x = 2 \cdot a\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}[/tex]
4. Obliczamy pole tego trójkąta:
[tex]P_{\Delta}= \frac{1}{2} \cdot x \cdot h[/tex]
[tex]x =2\sqrt{3}[/tex]
[tex]h = a = 1[/tex]
[tex]P_{\Delta}= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}[/tex]
5. Obliczamy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt:
[tex]2P = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]r = \cfrac{2P}{x + y + z} = \cfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2+2} = \cfrac{2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \cdot \cfrac{(4-2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})} = \cfrac{8\sqrt{3}-2^2\cdot(\sqrt{3})^2}{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \\\\\\ = \cfrac{8\sqrt{3}-4\cdot 3}{16-4\cdot 3} = \cfrac{8\sqrt{3}-12}{4}= 2\sqrt{3}-3[/tex]
Prawidłowa odpowiedź: Odpowiedź A
W upraszczaniu powyżej należało usunąć niewymierność z mianownika - należało przemnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie, które znajduję się w mianownika ale ze zmienionym znakiem.
Skorzystaliśmy z wzoru, że:
[tex](a+b)(a-b) = a^2 - b^2[/tex]
