Odpowiedź:
2.
an = (−1/7)^{2n+1} =
{−1/343, −1/16 807, −1/823 543, −1/40 353 607, −1/1 977 326 743 ..., an}
{− (1/7)³, − (1/7)⁵, − (1/7)⁷, − (1/7) ^{9} ..., an → 0, {lim an, n→∞} = 0
Jest to ciąg rosnący o wyrazach ujemnych, szybko zbieżny lewostronnie (0 ze znaczkiem (-)) do zera.
Wyrazy ciągu należą do przedziału an ∈ {⟨− (1/7)³; 0)} = {⟨− 1/343; 0)}
3.
Liczby 4, 3x, 81, ..., w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich:, dla wartości x = 6. Jest to ciąg:
4, 4•9/2, 4•(9/2)², 4•(9/2)³, 4•(9/2)⁴, 4•(9/2)⁵, ..., an = 4•(9/2)^{n - 1}
a1 = 4, q = 9/2
Szczegółowe wyjaśnienie:
2.
an = (−1/7)^{2n+1} =
{−1/343, −1/16 807, −1/823 543, −1/40 353 607, −1/1 977 326 743 ..., an}
{− (1/7)³, − (1/7)⁵, − (1/7)⁷, − (1/7) ^{9} ..., an → 0, {lim an, n→∞} = 0
Jest to ciąg rosnący o wyrazach ujemnych, szybko zbieżny lewostronnie (0 ze znaczkiem (-)) do zera, 0.
Wyrazy ciągu należą do przedziału an ∈ {⟨− (1/7)³; 0)} = {⟨− 1/343; 0)}
3.
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1, a2 = a1q, a3 = a1q², a4 = a1q³, a5 = a1q⁴, ..., to an = a1q^{n-1}
4, 3x, 81, ..., to korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu, mamy:
a1 = 4, a1q = 4q = 3x, a1q² = 3x•q = 4q² = 81 to
4q² = 81 /:4 to q² = 81/4 to √(q²) = √(81/4) to
q = √(81/4) = 9/2 [drugie rozwiązanie dla q: q = - √(81/4) = - 9/2 odpada,
ponieważ jest sprzeczne z warunkiem, że liczby tworzą ciąg o wyrazach dodatnich.
Wracamy do naszego ciągu:
a1 = 4, a1q = 4•9/2 = 3x, a1q² = 3x•9/2 = 4•81/4 = 81
Z tego rozwinięcia ciągu i już podstawienia a1 = 4 i q = 9/2
widzimy, ze nasz ciąg spełnia warunki zadania:, to
3x = 4•9/2 i dla sprawdzenia: 3x•9/2 = x•27/2 = 4•81/4 = 81 to
3x = 18 /:3 to x = 18/3 = 6 i x•27/2 = 81 /•2/27 to x = 81•2/27 to
[81/27 =3] to x = 3•2 = 6, co należało sprawdzić.
Na koniec rozwiniemy już liczbowo nasz ciąg i zobaczymy "z bliska", jak wygląda:
4, 4•9/2, 4•(9/2)², 4•(9/2)³, 4•(9/2)⁴, 4•(9/2)⁵, ..., an = 4•(9/2)^{n - 1}
a1 = 4, q = 9/2
Odpowiedź:
Liczby 4, 3x, 81, ..., w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich:, dla wartości x = 6
