Odpowiedź:
Jest to zadanie z działu logarytmy.
Należy wykazać, że, jeśli
[tex]log_29 = c \ \rightarrow\ log_3 54 = \frac{3c+2}{c}[/tex]
Obliczenia umieszczone poniżej udowodniły, że podane równanie jest prawdziwe.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Chcąc rozwiązać to zadanie należy przypomnieć sobie podstawowe wzory związane z logarytmami. Mianowicie:
[tex]\boxed{1}. \ log_a b = c \Longleftrightarrow b = a^c[/tex]
[tex]\boxed{2}. \log_a (b \cdot c) = log_ab + log_a c[/tex]
[tex]\boxed{3}. \ log_ab^n = n \cdot log_ab[/tex]
[tex]\boxed{4}. \ log_ab = \frac{1}{log_ba}[/tex]
Informacje z zadania:
[tex]log_29 = c[/tex]
Zgodnie z wzorem [tex]\boxed{3}[/tex] - możemy zapisać, że:
[tex]c = log_29 = log_23^2 = 2 \cdot log_23[/tex]
oraz:
[tex]log_3 54 = \frac{3c+2}{c}[/tex]
Weźmy pod uwagę najpierw lewą stronę równania:
[tex]L = log_3 54 = log_3 (2 \cdot 27) = log_32 + log_3 27 =log_32 + log_3 3^3 =\\\\= log_3 2 + 3 \cdot log_33 = \frac{1}{log_23} + 3 \cdot 1 = \frac{1}{log_23} + 3[/tex]
- Pamiętajmy, że zgodnie z wzorem [tex]\boxed{4}[/tex]:
[tex]log_3 2 = \frac{1}{log_23}[/tex]
- Zgodnie z wzorem [tex]\boxed{1}[/tex]:
[tex]log_3 3 = 1\ \ bo: \ 3^1 = 3[/tex]
Wróćmy do obliczeń - otrzymaliśmy:
[tex]L = \frac{1}{log_23} + 3[/tex]
Należy teraz wyznaczy wartość wyrażenia [tex]log_23[/tex] w zależności od [tex]c[/tex]:
[tex]c = 2 \cdot log_23|: 2 \ \rightarrow\ log_2 3 = \frac{c}{2}[/tex]
Z tego wynika, że:
[tex]L = \frac{1}{\frac{c}{2}} + 3 = \frac{2}{c} + 3 = \frac{2}{c} + \frac{3c}{c} = \frac{3c+2}{c} \ \ c.n.u[/tex]
Uwaga: Chcąc dodać do siebie ułamki - należało sprowadzić je do wspólnego mianownika.
