Aby szereg był zbieżny iloraz |q|<1:
[tex]\frac{1}{|x+2|} < 1\\|x+2| > 1\\x+2 > 1\ \Rightarrow x > -1\\x+2 < -1\ \Rightarrow x < -3\\x\in(-\infty;-3) \cup (-1;\infty)[/tex]
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
[tex]S_n=\frac{1}{x+2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{x+2}}=\frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]\frac{1}{x+1} > \frac{1}{3}(x-1)\\\frac{3-(x-1)(x+1)}{3(x+1)} > 0\\\frac{3-x^2+1}{3(x+1)} > 0\\\frac{4-x^2}{3(x+1)} > 0\\\frac{(2-x)(2+x)}{3(x+1)} > 0[/tex]
Na podstawie twierdzenia o znaku iloczynu i ilorazu:
[tex](2-x)(2+x)(x+1) > 0\\x\in(-\infty;-2)\cup(-1;2)[/tex]
Łącząc to z poprzednim warunkiem na zbieżność:
[tex]x\in(-\infty;-3)\cup(-1;2)[/tex]
pozdrawiam
